Pokazać, że dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ 3 \int_{0}^{t} W_s^2 dW_s = W_t^3-3tW_t}\).
Chciałam skorzystać twierdzenia, że dla \(\displaystyle{ X}\) prognozowalnego i ciągłego w \(\displaystyle{ L^2}\) i dowolnego ciągu podziałów \(\displaystyle{ 0=t_0^{(n)} \le \ldots \le t_{k_n}^{(n)}=T}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{k_n-1} X_{tk}^{(n)}(W_{t_{k+1}^{(n)}}-W_{t_{k}^{(n)}}) \rightarrow \int_{0}^{T} X dW_s}\)
Tylko nie potrafię policzyć granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^{k_n-1} W^2_{tk}^{(n)}(W_{t_{k+1}^{(n)}}-W_{t_{k}^{(n)}})}\)
Całka stochastyczna
Całka stochastyczna
Jesteś pewna, że chcesz udowodnić
\(\displaystyle{ 3 \int_{0}^{t} W_s^2 dW_s = W_t^3-3tW_t}\)
a nie to:
\(\displaystyle{ 3\int_{0}^{t}W_{s}^{2}dW_{s}=W_{t}^{3}-3\int_{0}^{t}W_{s}ds}\)
\(\displaystyle{ 3 \int_{0}^{t} W_s^2 dW_s = W_t^3-3tW_t}\)
a nie to:
\(\displaystyle{ 3\int_{0}^{t}W_{s}^{2}dW_{s}=W_{t}^{3}-3\int_{0}^{t}W_{s}ds}\)
Całka stochastyczna
To drugie jest prawdziwe. Łatwo wykazać to ze wzoru Ito.
Natomiast nie jest prawdą, że:
\(\displaystyle{ 3\int_{0}^{t}W_{s}ds=3tW_{t}}\)
Zakładam, że w zadaniu mamy standardową całkę stochastyczną względem procesu Wienera.
Natomiast nie jest prawdą, że:
\(\displaystyle{ 3\int_{0}^{t}W_{s}ds=3tW_{t}}\)
Zakładam, że w zadaniu mamy standardową całkę stochastyczną względem procesu Wienera.