Tw. Lindeberga - Levy'ego

[bogdyn919]

Dzień dobry proszę o sprawdzenie , czy można tak to zadanie rozwiązać ?
W grupie studenckiej przeprowadzono test z analizy , w którym
można uzyskać od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 100}\) pkt. Przeciętna ilość pkt. uzyskanych przez studenta
to \(\displaystyle{ 40}\) a odchylenie standardowe \(\displaystyle{ 20}\) . Zakładając że wyniki studentów są niezależne
o tym samym rozkładzie stwierdzić , jakim rozkładem można przybliżyć rozkład
sumy pkt. uzyskanych przez \(\displaystyle{ 150}\) osobową grupę studencką . Oblicz:
a) prawdopodobieństwo, tego że suma punktów uzyskanych przez tą grupę będzie większa
od \(\displaystyle{ 6500}\) (\(\displaystyle{ P \left( \sum_{}^{} X_{i} > 6500 \right)}\)) ;
b) taką liczbę \(\displaystyle{ k}\) dla której prawdopodobieństwo sumy pkt. uzyskanych
przez tę grupę jest mniejsza od \(\displaystyle{ k}\) jest równe \(\displaystyle{ 0.75}\) (\(\displaystyle{ P \left( \sum_{}^{} X _{i} <k \right) =0.75}\))
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Oznaczam przez \(\displaystyle{ X_{i}}\) sumę pkt. uzyskaną przez \(\displaystyle{ i}\)- studenta . \(\displaystyle{ EX = 40,
D ^{2}X = 20}\)
Suma pkt. to \(\displaystyle{ X = \sum_{i = 1}^{150} X _{i}}\) Ponieważ wariancja jest skończona i większa od \(\displaystyle{ 0}\) , a \(\displaystyle{ n= 150}\) (względnie duże ) to korzystam z tw. LINDEBERGA-LEVY’EG ,
tu przydało by mi się jedno zdanie określające jakim rozkładem można przybliżyć rozkład sumy czy tu chodzi o standardowy normalny ?

\(\displaystyle{ P \left( Z> 6500 \right) = P \left( \frac{\sum_{i = 1}^{150}Xi - n EX}{ \sqrt{nD ^{2}X } }> \frac{6500-150 \cdot 40}{ \sqrt{150 \cdot 20 ^{2} } } \right) = P \left( Z> 2.04 \right)
,
= 1- Phi \left( 2.04 \right) = 0.02}\)


b)
\(\displaystyle{ P \left( \frac{\sum_{i = 1}^{150}Xi - n EX}{ \sqrt{nD ^{2}X } }< \frac{k-150 \cdot 40}{ \sqrt{150 \cdot 20 ^{2} } } \right) = 0.75}\)

,
\(\displaystyle{ Phi \left( \frac{k-150 \cdot 40}{ \sqrt{150 \cdot 20 ^{2} } } \right) = 0.75}\)
Szukam w tablicach rozkładu standardowego normalnego i wnioskuje że

,
\(\displaystyle{ Phi \left( 0.67 \right) = 0.75}\)
,
czyli\(\displaystyle{ \frac{k-150 \cdot 40}{ \sqrt{150 \cdot 20 ^{2} }} = 0.67}\)
czyli \(\displaystyle{ k = 6164.11}\)

[janusz47]

Wygląda rozwiązanie poprawnie. Aproksymujemy standardowym rozkładem normalnym.