Mamy dwie urny z kulami białymi - \(\displaystyle{ B}\) i czarnymi \(\displaystyle{ C}\). W \(\displaystyle{ I}\) jest \(\displaystyle{ 3 \times B}\) oraz \(\displaystyle{ 2 \times C}\), w \(\displaystyle{ II}\) jest \(\displaystyle{ 3 \times C}\) oraz \(\displaystyle{ 2 \times B}\). Losujemy kulę z urny \(\displaystyle{ I}\) i albo przekładamy do \(\displaystyle{ II}\) albo wkładamy z powrotem do \(\displaystyle{ I}\) (każda z możłiwości ma p-stwo \(\displaystyle{ \frac{1}{2} )}\). Następnie robimy to samo dla urny \(\displaystyle{ II}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza z wylosowanych kul była biała, jeśli wiadomo, że po dwóch losowaniach urna \(\displaystyle{ II}\) zawiera dokładnie \(\displaystyle{ 2 \times B}\)?
Próbowałam to robić z prawdopodobieństwa całkowitego i wzoru Bayesa, tj. niech \(\displaystyle{ H_1}\)-pierwsza wylosowana kula biała, \(\displaystyle{ A}\)-po dwóch losowaniach urna \(\displaystyle{ II}\) zawiera dokładnie \(\displaystyle{ 2 \times B}\), wtedy
\(\displaystyle{ P(H_1|A)=\frac{P(A|H_1)P(H_1)}{P(A)}}\).
Ale nie wiem czy to jest najlepszy sposób, bo można łatwo się pogubić.
Może macie inne pomysły?
p-stwo całkowite?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
p-stwo całkowite?
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu składa się z dwóch doświadczeń dwuetapowych
I - losowanie kuli z urny pierwszej - etap pierwszy
i włożenie jej z powrotem do tej urny lub do urny drugiej - etap drugi.
II - losowanie kuli z urny drugiej - etap pierwszy
i włożenie jej z powrotem do tej urny lub do urny pierwszej - etap drugi.
Oznaczenie zdarzeń losowych
\(\displaystyle{ B}\) - "wylosowanie za pierwszym razem kuli białej".
\(\displaystyle{ C}\) -" wylosowanie za pierwszym razem kuli czarnej".
\(\displaystyle{ I}\) -" po dwóch losowaniach urna druga będzie zawierała dwie kule białe, gdy przełożono kulę białą z urny I
"
\(\displaystyle{ II}\) -" po dwóch losowaniach urna druga będzie zawierała dwie kule białe, gdy przełożono kulę białą z urny II.
\(\displaystyle{ 2B}\)- "urna druga po dwóch losowaniach będzie zawierała dwie kule białe"
Ze wzoru pastora Thomasa Bayesa
\(\displaystyle{ Pr(B|2B) = \frac{Pr (B \cap 2B)}{Pr (2B) } = \frac{Pr(B) Pr(II|B)}{Pr(B)Pr(II|B)+Pr(C)Pr(I|C)+ Pr(C)Pr(II|C)}.}\)
\(\displaystyle{ Pr(B|2B) = \frac{\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}+ \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}}= \frac{2}{7}.}\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
Realizując doświadczenia dwuetapowe, należy oczekiwać, że w około 28,6% jego realizacji, jeśli po dwóch losowaniach urna druga będzie zawierała dwie kule białe, to pierwsza z wylosowanych kul będzie biała.
I - losowanie kuli z urny pierwszej - etap pierwszy
i włożenie jej z powrotem do tej urny lub do urny drugiej - etap drugi.
II - losowanie kuli z urny drugiej - etap pierwszy
i włożenie jej z powrotem do tej urny lub do urny pierwszej - etap drugi.
Oznaczenie zdarzeń losowych
\(\displaystyle{ B}\) - "wylosowanie za pierwszym razem kuli białej".
\(\displaystyle{ C}\) -" wylosowanie za pierwszym razem kuli czarnej".
\(\displaystyle{ I}\) -" po dwóch losowaniach urna druga będzie zawierała dwie kule białe, gdy przełożono kulę białą z urny I
"
\(\displaystyle{ II}\) -" po dwóch losowaniach urna druga będzie zawierała dwie kule białe, gdy przełożono kulę białą z urny II.
\(\displaystyle{ 2B}\)- "urna druga po dwóch losowaniach będzie zawierała dwie kule białe"
Ze wzoru pastora Thomasa Bayesa
\(\displaystyle{ Pr(B|2B) = \frac{Pr (B \cap 2B)}{Pr (2B) } = \frac{Pr(B) Pr(II|B)}{Pr(B)Pr(II|B)+Pr(C)Pr(I|C)+ Pr(C)Pr(II|C)}.}\)
\(\displaystyle{ Pr(B|2B) = \frac{\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}+ \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}}= \frac{2}{7}.}\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
Realizując doświadczenia dwuetapowe, należy oczekiwać, że w około 28,6% jego realizacji, jeśli po dwóch losowaniach urna druga będzie zawierała dwie kule białe, to pierwsza z wylosowanych kul będzie biała.