Co najmniej dwie kule są tego samego koloru

[kmmc]

W urnie znajduje się 20 kul: 9 białych, 9 czerwonych i 2 zielone. Z tej urny losujemy bez
zwracania 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że co najmniej
dwie z wylosowanych kul są tego samego koloru. (5 pkt)

To zadanie z matury rozszerzonej, stara podstawa. Jakby ktoś rozwiązał, tylko ktoś kto umie, żeby było dobrze...

[SlotaWoj]

Na ile sposobów można wylosować 3 kule z 20? To będzie nasze \(\displaystyle{ \Omega}\).

Ile będzie zdarzeń sprzyjających:

• \(\displaystyle{ B_c}\) – dwie białe i czerwona,
  \(\displaystyle{ B_z}\) – dwie białe i zielona,
  \(\displaystyle{ B}\) – trzy białe,
  \(\displaystyle{ C_b}\) – dwie czerwone i biała,
  \(\displaystyle{ C_z}\) – dwie czerwone i zielona,
  \(\displaystyle{ C}\) – trzy czerwone,
  \(\displaystyle{ Z_b}\) – dwie zielone i biała,
  \(\displaystyle{ Z_c}\) – dwie zielone i czerwona.

Dalej już sam zrobisz?

[kmmc]

Ja zrobiłem tak:

Omega - wariacja bez powtórzeń \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18}\)

Zdarzenia sprzyjające:
CO NAJMNIEJ dwie tego samego koloru, czyli:
a) dwie tego samego koloru, jedna dowolnego innego koloru
b) trzy tego samego koloru

a)
dwie białe, jedna nie-biała: \(\displaystyle{ 9 \cdot 8 \cdot 11}\)
dwie czerwone, jedna nie-czerwona: \(\displaystyle{ 9 \cdot 8 \cdot 11}\)
dwie zielone, jedna nie-zielona: \(\displaystyle{ 2 \cdot 1 \cdot 18}\)
b)
trzy białe: \(\displaystyle{ 9 \cdot 8 \cdot 7}\)
trzy czerwone: \(\displaystyle{ 9 \cdot 8 \cdot 7}\)
nie ma opcji wybrać 3 zielone, więc opuszczam.

Prawdopodobieństwo mi wyszło \(\displaystyle{ P(A)= \frac{73}{190}}\), taki wynik zapisałem.

Znając życie będzie źle, bo jestem za głupi żeby poprawnie zrobić zadanie za 5 punktów z prawdopodobieństwa...

Nawet źle wyliczyłem zadanie z ostrosłupem na końcowym odcinku zadania - \(\displaystyle{ a=10, H=5}\), a objętość wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{50}{3}}\), zamiast \(\displaystyle{ \frac{500}{3}}\) i nie dostanę full punktów...

[SlotaWoj]

Nie jest ważna kolejność losowania, więc mają być kombinacje, a nie wariacje.

[kmmc]

0/5 pkt.?

[SlotaWoj]

Oceniający zadanie ma jakiś klucz (instrukcję), którego nie znam.
Ja dałbym Ci 2 pkt. (taki surowy jestem).

[kmmc]

W kluczu pierwszą sprawą, za którą daje się 1 punkt jest pewnie zapisanie kombinacji, a tutaj ich nie ma.

[macik1423]

A nie łatwiej w tym zadaniu zrobić tak:
Wybieram dwie z białych \(\displaystyle{ {9 \choose 2}}\) i jedną z pozostałych jedenastu \(\displaystyle{ {11 \choose 1}}\)+
wybieram dwie z czerwonych i jedną z pozostałych jedenastu + dwie z zielonych i jedną z osiemnastu + trzy z czerwonych + trzy z białych.

[inusia146]

Nie jest ważna kolejność losowania, więc mają być kombinacje, a nie wariacje.

Dlaczego nie jest ważna kolejność losowania? Skoro mamy powiedziane, że losujemy bez zwracania - to nie jest tak, że wyciągamy pierwszą na 20 sposobów, odkładamy na bok, potem drugą na 19 sposobów, odkładamy na bok, a następnie trzecią na 18 sposobów?

[piasek101]

Wyciągamy trzy jednocześnie i patrzymy jakie mamy - żadna kolejność wybranych nie jest brana pod uwagę.

[inusia146]

Wyciągamy trzy jednocześnie i patrzymy jakie mamy - żadna kolejność wybranych nie jest brana pod uwagę.

A gdyby było powiedziane, że losujemy kolejno bez zwracania, to wtedy byłyby wariacje?

[piasek101]

W zadaniu podanym tutaj narzuca się brak kolejności.
Tam gdzie losujesz po kolei najczęściej kolejność uwzględniamy.

Dlaczego najczęściej - bo często (patrz link jaki wkleję) nie jest błędem przyjęcie innej wersji.

Patrz - mam dwie osoby A oraz B. Wylosuję (po jednej) dwie z nich.
a) ile różnych par osób dostanę ?
Jeśli osób byłoby np. \(\displaystyle{ 10}\) to błędem będzie przyjąć, że to \(\displaystyle{ 10\cdot 9}\) gdyż przy takim modelu i dwóch osobach
wyszłoby \(\displaystyle{ 2\cdot 1 = 2}\). Poprawny wynik to jedna para - bo kolejność jest bez znaczenia (pomimo losowania pojedynczo).

b) ile różnych par otrzymamy, gdy pierwsza wylosowana osoba zostanie kierownikiem, a druga podwładnym ?
\(\displaystyle{ A}\) - kierownik; \(\displaystyle{ B}\) - podwładny, lub odwrotnie.
Poprawny wynik to 2 (a losowaliśmy pojedynczo).

Tu też obadaj :
Jak jest różnica?