Drzewo stochastyczne a rozmieszczenie kul

[Poszukujaca]

Określ za pomocą drzewa stochastycznego przestrzeń probabilistyczną dla rozmieszczenia 3 jednakowych kul w 3 ponumerowanych szufladach.

Zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) zapisałam tak: \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ (1,1,1),(2,1,0),(1,2,0),(0,1,2),(0,2,1),(2,0,1),(1,0,2),(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3) \right\}}\).
Miejsca w ciągu oznaczają numery szuflad, a liczby - ilość kul przyporządkowanych każdej szufladzie.
np. \(\displaystyle{ (1,1,1)}\) oznacza, ze we wszystkich szufladach jest po jednej kuli

Teraz mam pewną koncepcję apropo tego, jak policzyć prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń z \(\displaystyle{ \Omega}\), jednak mam dużo wątpliwości. Rysuję drzewo składające się z trzech rozgałęzień i trzech "pięter". Razem jest 27 możliwości, ale niektóre odgałęzienia są dla kilku naszych zdarzeń,, ponieważ kule są jednakowe. Kolejność występowania w drzewie cyfr nie ma znaczenia.
I tak wyszło mi \(\displaystyle{ p((1,1,1))=\frac{6}{27}}\)
\(\displaystyle{ p((2,1,0))=p((1,2,0))=p((0,1,2))=p((1,2,0))=p((0,2,1))=p((2,0,1))=p((1,0,2))=\frac{3}{27}}\)
\(\displaystyle{ p((3,0,0))=p((0,3,0))=p((0,0,3))=\frac{1}{27}}\)

Będę wdzięczna za każdą uwagę.

[janusz47]

Kule są jednakowe więc nierozróżnialne.

Jeśli \(\displaystyle{ k_{i}, \ \ i=1,2,3}\) - oznacza liczbę kul, to pytamy ile jest różnych ciągów liczb całkowitych nieujemnych \(\displaystyle{ (k_{1}, k_{2},k_{3})}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ (k_{1}+k_{2}+k_{3}=3.}\)

Takie rozmieszczenia nazywamy kombinacjami z powtórzeniami.

Wypisała Pani poprawnie zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) wszystkich takich ciągów.

Jego moc

\(\displaystyle{ |\Omega | = 10 ={3+3-1 \choose 3}}\) ( liczba kombinacji z powtórzeniami).

Wszystkie rozmieszczenia kul w szufladach są jednakowo-możliwe, więc

\(\displaystyle{ P(\omega_{i}) = \frac{1}{|\Omega|} = \frac{1}{10},\ \ i=1,2,3...,10.}\)

[Poszukujaca]

Na jakiej podstawie stwierdzamy, że wszystkie zdarzenia są jednakowo możliwe?

[janusz47]

Na takiej podstawie, że nie ma uprzywilejowanych komórek do których nie mogła by trafić każda z kul. Innymi słowy wystąpienie każdego ciągu złożonego z trzech elementów jest jednakowo prawdopodobne.

[Poszukujaca]

Dalej mam wątpliwości, dlaczego zdarzenia są jednakowo możliwe.

Dlaczego są to kombinacje z powtórzeniami? Mamy cztery liczby możliwe do wyboru \(\displaystyle{ 0,1,2,3}\), ale nie wybieramy ich dowolnie tylko pod warunkiem \(\displaystyle{ k_{1}+k_{2}+k_{3}=3}\).

[janusz47]

Wybieramy wyrazy ciągów 3-elementowych dowolnie, pod warunkiem, że ich suma jest równa \(\displaystyle{ 3.}\)

[Poszukujaca]

Właśnie odkryłam jeszcze jedno, zupełnie inne spojrzenie na to zadanie.

Mamy rozmieścić trzy identyczne kule w trzech ponumerowanych szufladach, więc wyobraźmy sobie sytuację np. taka: \(\displaystyle{ 1 \ | \ 2 \ | \ 0}\), gdzie kreska jest przegrodą oznaczającą nową szufladę a liczba oznacza ilość kul przyporządkowanych danej szufladzie. Możemy sobie zakodować: \(\displaystyle{ 1}\) - kula \(\displaystyle{ 0}\) - przegroda. Wiemy, że kule są trzy a przegrody dwie, więc będziemy mieć ciągi zero-jedynkowe pięcioelementowe, w których jedynka występuje trzy razy, a zero dwa razy. Liczbę takich ciągu można określić przez kombinacje dwu lub trzy elementowe, co oznacza, że będzie ich \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) lub \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\), gdzie zachodzi równość \(\displaystyle{ {5 \choose 2} = {5 \choose 3}}\).

[janusz47]

Są to 3 - elementowe kombinacje z powtórzeniami, a nie bez powtórzeń. (numery kul w przegrodach
mogą się powtarzać.

\(\displaystyle{ p(\omega)= \frac{1}{|\Omega|}.}\)