Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: SlotaWoj »

Maciek300 pisze:Pytam się skąd wiadomo, że te trzy wyniki nie są równoprawdopodobne. To że rzucający krzyczy wedle tego co wyrzuci to jest założenie w sytuacji.
A czy możemy założyć coś innego. Skoro zajmujemy się rachunkiem prawdopodobieństwa, a nie kryminalistyką, to musimy założyć, że krzyknie zgodnie z prawdą.

Ja wcale nie zakładam, że monety są rozróżnialne lub nie, bo to nie jest do niczego potrzebne. Wystarczy, że rzucamy dwoma monetami (symetrycznymi) lub jedna taką monetą dwa razy.
Interesujące nas prawdopodobieństwo zdarzenia są różne nie może zależeć od naszej rozróżnialności monet, bo ta odbywa się po za doświadczeniem. Prawdopodobieństwo to jest zawsze takie samo nawet wówczas, gdy wyniku doświadczenia nikt nie odnotuje.

Przeczytaj jeszcze raz pkt 2. z mojego poprzedniego postu. Przecież opisana tam nierozróżnialność może polegać na ukryciu (pominięciu) pewnych informacji (np. kolejność) przez relacjonującego przebieg doświadczenia.

Przykład:

Wykonujący doświadczenie rzuca dwa razy monetą, przekazuje telefonicznie innemu wynik doświadczenia: orły, reszki, różne i powtarza to doświadczenie 3000 razy.
Z prawa wielkich liczb wynika, że ww. wyniki zostaną nadane: 750, 750 i 1500 razy i tak muszą zostać odebrane. Nie oczekuj, że zostaną odebrane: 1000, 1000 i 1000 razy.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: Medea 2 »

Prawdopodobieństwo, że jutro będzie padać deszcz wynosi 50% - będzie lało jak z cebra albo nie.
Maciek300
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 sty 2013, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: asdasd

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: Maciek300 »

@SlotaWoj Twój przykład to dowód empiryczny, który nie jest dowodem ściśle matematycznym. A to, że monety są rozróżnialne ma wpływ, bo w sytuacji gdy są nierozróżnialne są trzy możliwe wyniki, a gdy są rozróżnialne są cztery możliwe wyniki. To jest z konkretnej definicji, którą ja wprowadziłem, bo inna definicja może mówić co innego.

@Medea 2 A jednak jedna moneta ma 50% szans, że wypadnie na niej reszka, co wiemy a z deszczem tego nie wiemy.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: SlotaWoj »

Gdzie tam empiryczny!
Jeżeli mamy jedno doświadczenie, to prawdopodobieństwo konkretnego wyniku nie może być różne dla dwóch obserwatorów, z których jeden rozróżnia monety (pod względem kolejności rzutów lub jakimkolwiek innym), a drugi nie rozróżnia.
Skoro dla tego, który rozróżnia:
  • \(\displaystyle{ P(\mbox{orły})=P(\mbox{reszki})=0,5\cdot P(\mbox{różne})}\) ,
więc dla drugiego nie może być:
  • \(\displaystyle{ P(\mbox{orły})=P(\mbox{reszki})=P(\mbox{różne})=0,333(3)}\) ,
czyli jednakowo prawdopodobne, bo:
  • \(\displaystyle{ \textbf{1}\ne\textbf{0,5}}\)
Maciek300
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 sty 2013, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: asdasd

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: Maciek300 »

Chyba wiem jaka jest odpowiedź po zastanowieniu. Sprawa głównie opiera się o nierozróżnialność monet. To, że one są nierozróżnialne nie może jednak znaczyć, że nie można ich ponumerować (w myślach): można się spierać, że Bóg zawsze je rozróżni, albo w sytuacji gdy jedną rzucimy chwile po drugiej można je rozróżnić, a prawdopodobieństwa w sytuacji gdy rzucimy je jednocześnie są dla każdego zjawiska takie same. Jedyna różnica to, że wyniki, które ja zdefiniowałem jako zbiory dwuelementowe, są trzy co nie ma żadnych skutków dla prawdopodobieństwa i zdarzeniami elementarnymi cały czas są ciągi dwuelementowe.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: SlotaWoj »

SlotaWoj pisze:To, że nie wiemy w jakiej kolejności zostały rzucone monety nie oznacza, że są one po rzucie nierozróżnialne. Zawsze będzie tak, że jedna/druga są po lewej/prawej lub bliżej/dalej albo (gdy upadną jedna na drugą) niżej/wyżej, więc jakiś porządek (w miejsce kolejności rzutów) zawsze możemy założyć, a czy to zrobimy, czy też nie – nie może mieć wpływu na wynik eksperymentu. Z tego powodu różne nie może być tak samo prawdopodobne jak orły albo reszki.
Gdy je ponumerujesz, to już nie będą nierozróżnialne. Nierozróżnialność w takim doświadczeniu jest fikcją.

Jeżeli w pewnym obszarze przestrzeni mamy dwa elektrony, to są one nierozróżnialne tylko wtedy, gdy się nimi nie interesujemy. Z chwilą gdy zaczniemy rozpoznawać ich położenie, pęd, generowane pole elektryczne, etc., stają się rozróżnialne.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: kruszewski »

No, no, za chwil kilka Kot otworzy szafę i zapyta Schrodingera, szefie, pan jesteś żywy czy umarty?
Ukłony!
W.Kr.
Maciek300
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 sty 2013, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: asdasd

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: Maciek300 »

Jeśli porzucimy matematykę jak zrobiłeś i zastanowimy się nad fizycznymi obiektami to dwa obiekty są nierozróżnialne jeśli przez cały czas wszystkie ich właściwości (jak położenie, kształt) są takie same. To by znaczyło, że pod takim byłby to jeden obiekt, a nie dwa. Dwa obiekty są dwoma jeśli można je rozróżnić.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: kruszewski »

Obserwator nie odróżnia monet bo jak wynika z treści zadania :"W sytuacji gdy wykonujemy jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami", ale zauważa większą częstość występowania różnoimiennych znaków na monetach a tę objaśnia analiza zjawiska jednoczesnego rzucania dwiema monetami:

Przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega}\) jest 4-elementowa. Składa się z dwu zdarzeń różnoimiennych i po jednym zdarzeniu jednoimiennym. Są nimi różnoimienne O+R i R+O oraz jednoimienne O+O, i R+R . Różnoimienny wynik jest (jak tu widać) dwukrotnie częstszy niż jedoimienny O+O albo R+R. Wrzucenie każdego wyniku (elementarnego zdarzenia) jest jednakowo podobne i wynosci tu \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Prawdopodobieństwo wyrzucenia różnoimiennego wyniku jest sumą prawdopodobieństw wyrzucenia każdego z nich, zatem \(\displaystyle{ p_r_._i_m = \frac{1}{4}+ \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}}\) .
Prawdopodobieństwo wyrzucenia wyniku jednoimiennego jest równe różnicy prawdopodobieństw pewności i wyrzucenia wyniku różnoimiennego, czyli \(\displaystyle{ p_j._i= 1- \frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\). Ale jednoimiennych wyników jest dwa i każdy jednakowo prawdopodobny, zatem każdy R+R czy O+O zachodzi z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_o_o=p_r_r}\) równym połowie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) , czyli \(\displaystyle{ p_o_o=p_r_r = \frac{1}{4}}\)
Sprawdzając obrachunki mamy:
\(\displaystyle{ \Sigma p = (p_r_._i= \frac{1}{2} )+(p_o_o= \frac{1}{4})+(p_r_r= \frac{1}{4})=1}\)
Maciek300
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 sty 2013, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: asdasd

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: Maciek300 »

No tak. Wystarczy powiedzieć, że nierozróżnialność monet nie ma żadnego wpływu na prawdopodobieństwo i wtedy wynik wiadomo jaki jest. Jakbym tego nie wiedział, a tego nie ma w twoim poście to mógłbym się zastanawiać czemu różnoimienne zdarzenia są dwa.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: kruszewski »

Dla tego, że nierozróżnialna moneta może upaść na dwa sposoby niezależnie od obrazka (wyniku) na monecie leżącej obok.
Maciek300
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 sty 2013, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: asdasd

Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami

Post autor: Maciek300 »

Bardziej dlatego, że dla każdego wyniku monety pierwszej jest jeden wynik monety drugiej, taki by były różne. A tylko dla wyniku reszka wyniku pierwszej jest jeden wynik monety drugiej, taki by były reszki.
ODPOWIEDZ