prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
karolynqaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 21 lis 2012, o 18:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

prawdopodobieństwo warunkowe

Post autor: karolynqaa »

Na dworcu kolejowym znajdują sią dwoje schodów ruchomych. Pierwsze sa sprawne
z prawdopodobieństwem\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), natomiast drugie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) . Prawdopodobieństwo, ze działają pierwsze schody, gdy zepsute są drugie wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
a) Jakie jest prawdopodobienstwo, ze działaja drugie schody, pod warunkiem, ze nie
działaja pierwsze?
b) Jakie jest prawdopodobienstwo, ze działaja przynajmniej jedne schody?

a) A- zd. że pierwsze schody są sprawne
B - zd. że drugie są sprawne
\(\displaystyle{ P\left( B|A'\right)= \frac{P\left( A' \cap B\right) }{P\left( A'\right) } = \frac{P(A') \cdot P(B)}{ \frac{1}{2} }= \frac{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} }{ \frac{1}{2} }= \frac{1}{3}}\)

b) C - zd. że działaja pierwsze gdy zepsute są drugie
D - działają przynajmniej jedne schody
\(\displaystyle{ P(D)=P(A)+P(B) \cdot P(C)= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}}\)


Czy to jest poprawne rozwiązanie?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

prawdopodobieństwo warunkowe

Post autor: kerajs »

a) A- zd. że pierwsze schody są sprawne
B - zd. że drugie są sprawne
\(\displaystyle{ P\left( B|A'\right)= \frac{P\left( A' \cap B\right) }{P\left( A'\right) } = \frac{P(A') \cdot P(B)}{ \frac{1}{2} }= \frac{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} }{ \frac{1}{2} }= \frac{1}{3}}\)
Skąd wiesz że A' i B są niezależne?

A co z informacją
Prawdopodobieństwo, ze działają pierwsze schody, gdy zepsute są drugie wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(A|B')= \frac{P(A \cap B')}{P(B')} = \frac{1}{2}\\
\frac{P(A \cap B')}{1- \frac{1}{3} } = \frac{1}{2}\\
P(A \cap B') = \frac{1}{3}}\)

Narysuj diagram Venna.
Ile teraz wynosi \(\displaystyle{ P(A' \cap B)}\) ?
Czy ewentualny identyczny wynik oznacza że Twoje rozwiązanie jest poprawne ?
karolynqaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 21 lis 2012, o 18:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

prawdopodobieństwo warunkowe

Post autor: karolynqaa »

OK. rozumiem
A podpunkt b) jest dobrze?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

prawdopodobieństwo warunkowe

Post autor: Premislav »

Nie rozumiem Twojego rozwiązania.

Jeśli pierwsze są sprawne z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac 1 2}\), zaś drugie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac 1 3}\), natomiast prawdopodobieństwo, że pierwsze działają pod warunkiem, że drugie są zepsute wynosi \(\displaystyle{ \frac 1 2}\), to wystarczy zsumować, według Twoich oznaczeń, \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B)=\frac 1 3}\) - prawdopodobieństwo, że drugie działają z \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A|B')\mathbf{P}(B')=\frac 1 2 \cdot \frac 2 3}\) - prawdopodobieństwem, że pierwsze działają i drugie nie działają - to istotnie daje odpowiedź \(\displaystyle{ \frac 2 3}\). Ale moim zdaniem to, że wyszło Ci dobrze, jest czystym przypadkiem.
Nie zawsze mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A' \cap B)=\mathbf{P}(B)\mathbf{P}(A|B')}\). Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ A \subset B}\) i np. \(\displaystyle{ 0<\mathbf{P}(A)<\mathbf{P}(B)}\) no i klops.

-- 5 maja 2016, o 21:36 --

Aczkolwiek może w tym wypadku jest OK - wyjaśnij proszę swoje rozumowanie.
ODPOWIEDZ