Powtórzenie się tego samego numery w pewnym przedziale

[Premislav]

Chyba wobec tego chciałeś napisać \(\displaystyle{ 18}\) z \(\displaystyle{ 38}\), a nie \(\displaystyle{ 18}\) z \(\displaystyle{ 37}\) (zważywszy na moc omegi, którą podajesz).
Prawdopodobieństwo, że konkretny numer spośród \(\displaystyle{ 38}\) wystąpił w \(\displaystyle{ 18}\) losowaniach dokładnie dwa razy to rzeczywiście
\(\displaystyle{ \frac{{18 \choose 2}36^{16}}{38^{18}}}\), ale to nie daje żadnego \(\displaystyle{ 2}\) z kawałkiem, tylko
}}

-- 15 maja 2016, o 00:22 --

Mniej więcej czterdzieści pięć tysięcznych. Ale to jest prawdopodobieństwo, że konkretny numer wystąpi dokładnie dwa razy.
Prawdopodobieństwo, że któryś numer wystąpi dokładnie dwa razy, prawdopodobieństwo, że konkretny numer wystąpi co najmniej dwa razy, prawdopodobieństwo, że jakikolwiek numer wystąpi co najmniej dwa razy - to inne możliwe interpretacje.

-- 15 maja 2016, o 00:31 --
EDIT:
Aj, sorry, zasugerowałem się tym \(\displaystyle{ 37-1}\), a powinno być po prostu \(\displaystyle{ 37}\), o ile dobrze rozumiem treść zadania. Jeżeli ogólnie mamy \(\displaystyle{ 38}\) numerów do wyboru, to na\(\displaystyle{ {18 \choose 2}}\)sposobów wybieramy te numery losowań, w których ma wypaść dany numer, a w pozostałych \(\displaystyle{ 16}\) losowaniach może wypaść jeden z \(\displaystyle{ 38-1}\) pozostałych.
Chyba że się nie zrozumieliśmy...

[anonimowy19922]

przecież od początku tematu jest mowa o \(\displaystyle{ 37}\) numerach.... nic nie rozumiem, o co ci chodzi?

ale licznik należy pomnożyć jeszcze przez \(\displaystyle{ 37}\), ponieważ obliczamy wynik dla dowolnego numeru z \(\displaystyle{ 37}\).

jeżeli nie pomnożymy licznika przez \(\displaystyle{ 37}\) wynik wyjdzie.
\(\displaystyle{ 0,07209}\)

tylko że teraz to już w ogóle to się nie zgadza. Dla \(\displaystyle{ 3}\) losowań prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,07889}\) a dla \(\displaystyle{ 18}\) tylko \(\displaystyle{ 0,07209}\). Kompletnie bez sensu.

przepraszam zrobiłem błąd, nie zauważyłem wcześniej.

[Premislav]

W takim razie skąd u Ciebie to \(\displaystyle{ 38}\) w \(\displaystyle{ |\Omega|}\)? Jest ono zupełnie od czapy.

Mamy \(\displaystyle{ 37}\) liczb i \(\displaystyle{ 18}\) losowań, więc \(\displaystyle{ |\Omega|=37^{18}}\) - za każdym razem możemy wylosować jedną z trzydziestu siedmiu liczb.
Przyjmuję, że znajdujemy prawdopodobieństwo zdarzenia "co najmniej jedna liczba wystąpiła chociaż dwa razy".
Ze wzoru włączeń i wyłączeń mamy
\(\displaystyle{ |A|=37 \cdot {18 \choose 2}37^{16} -{37 \choose 2}{18 \choose 2}{16 \choose 2}37^{14} +{37 \choose 3}{18 \choose 2}{16 \choose 2}{14 \choose 2}37^{12} -{37\choose 4}{18 \choose 2}{16 \choose 2}{14\choose 2}{12\choose 2}37^{10}+{37 \choose 5}{18 \choose 2}{16 \choose 2}{14 \choose 2}{12\choose 2}{10 \choose 2}37^{8}-\\-{37\choose 6}{18 \choose 2}{16 \choose 2}{14 \choose 2}{12\choose 2}{10 \choose 2}{8 \choose 2}37^{6}+{37 \choose 7}{18 \choose 2}{16 \choose 2}{14 \choose 2}{12\choose 2}{10 \choose 2}{8\choose 2}{6 \choose 2}37^{4}-{37 \choose 8}{18 \choose 2}{16 \choose 2}{14 \choose 2}{12\choose 2}{10 \choose 2}{8\choose 2}{6\choose 2}{4\choose 2}37^{2}+{37 \choose 9}{18 \choose 2}{16 \choose 2}{14 \choose 2}{12\choose 2}{10 \choose 2}{8\choose 2}{6\choose 2}{4\choose 2}{2\choose 2}}\)
Enjoy Wygląda jak jakiś gotycki witraż.

[Straznik Teksasu]

Mamy \(\displaystyle{ 37}\) liczb i \(\displaystyle{ 18}\) losowań, więc \(\displaystyle{ |\Omega|=37^{18}}\) - za każdym razem możemy wylosować jedną z trzydziestu siedmiu liczb.
Przyjmuję, że znajdujemy prawdopodobieństwo zdarzenia "co najmniej jedna liczba wystąpiła chociaż dwa razy".

Rozumiem, że \(\displaystyle{ 1}\) losowanie polega na wylosowaniu dokładnie \(\displaystyle{ 1}\) liczby ? Wtedy zdarzeniem przeciwnym do A będzie: "żadna z liczb się nie powtórzyła". Mocą będzie 18-wyrazowa wariacja bez powtórzeń z 37-elementowego zbioru, czyli \(\displaystyle{ \frac{37!}{19!}}\), więc:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{ 37^{18}- \frac{37!}{19!} }{ 37^{18} } \cdot 100\% \approx 99,33\%}\)

[anonimowy19922]

Nie rozumiem o czym mówisz - to bardzo ważna dla mnie. Co masz na myśli mówiąc

"Wtedy zdarzeniem przeciwnym do A będzie:"żadna z liczb się nie powtórzyła?

Moim celem jest obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia \(\displaystyle{ 2}\) razy takiego samego numeru w \(\displaystyle{ 18}\) losowaniach, za każdym razem losujemy 1 liczbę spośród \(\displaystyle{ 37}\).

dziękuję

[Straznik Teksasu]

żadna z liczb się nie powtórzyła - to znaczy wylosowano 18 różnych liczb

Mój wzór jest poprawny dla stwierdzenia: "co najmniej jedna liczba wystąpiła chociaż dwa razy".

Ale nie jest poprawny dla stwierdzenia:" wystąpienie tylko raz dokładnie 2 razy takiego samego numeru w 18 losowaniach",czyli takie układy liczb odpadają:
\(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16,16}\)
\(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15,16,16}\)

Powiedz mi o którą sytuację ci chodzi.

[anonimowy19922]

ale to coś chłopie słaby ten wzór, jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej 2 razy tego samego numeru na 18 losowań wynoszi 99,33%, to ruletka powinna być na przegranej pozycji a tak nie jest.

Mam na myśli że obstawiasz 18 ostatnich numerów które wystąpiły poprzednio. Na to samo wychodzi.

np.
1,4,25,5,35,36,27,28,14,15,16,23,24,29,34,33,11,13... - to ostatnie 18 numerów które zostały wylosowane przez koło ruletki, szansa na powtórzenie się któregoś z nich jest większa niż 99,33% w tym momęcie. Więc obstawiam te ostatnie 18 numerów, trafienie któregokolwiek daje mi 36 wygranej czyli 2 razy więcej.

Więc dlaczego to nie działa?

[Straznik Teksasu]

Losowałem z 20 razy i wychodzi na to, że mój wzór działa. Spróbuj wylosować wszystkie różne liczby (mi się nie udało):

A co się tyczy tej drugiej sytuacji to tez wyliczyłem prawdopodobieństwo:

Ukryta treść:    

Obliczę prawdopodobieństwo dla tej drugiej sytuacji:
Spośród \(\displaystyle{ 37}\) elementów wybieramy \(\displaystyle{ 1}\) element, który powtórzy się dokładnie dwa razy. Te 2 elementy możemy rozstawić w 18 kolejnych losowaniach na \(\displaystyle{ 18*17}\) sposobów. zostaje nam 16 losowań i 36 elementów do wyboru. Teraz wylosowane elementy muszą się różnić. Te elementy możemy rozstawić na \(\displaystyle{ \frac{36!}{20!}}\), czyli będzie to 16-elementowa wariacja bez powtórzeń ze zbioru 36-elementowego. Teraz zgodnie z regułą iloczynów pomnóżmy wszystko, wyjdzie wtedy:

\(\displaystyle{ P(A _{2})= \frac{37*18*17* \frac{36!}{20!} }{37^{18}} *100\% \approx 10,25\%}\)

[kinia7]

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{{18 \choose 2} \cdot(37-1)^{18-2}}{37^{18}}\approx 0,072}\)
tak jest w sytuacji, gdy konkretny numer wystąpił dokładnie 2 razy, pozostałe numery występują w dowolny sposób

jeśli chodzi o sytuację, w której dwukrotnie występuje dowolny numer, przy czym żaden inny numer nie powtarza się
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{37\cdot{18 \choose 2} \cdot\frac{36!}{20!}}{37^{18}}\approx5,125\%}\)

[Straznik Teksasu]

kinia7, wyliczyła drugie prawdopodobieństwo dobrze
\(\displaystyle{ { 18 \choose 2}= \frac{18 \cdot 17}{2}}\), czyli ja zapomniałem podzielić przez \(\displaystyle{ 2}\), bo te dwa elementy, które na początku rozstawiałem są takie same a nie różne.