Powtórzenie się tego samego numery w pewnym przedziale

[anonimowy19922]

Mamy 100 numerów 1-100.

Prawdopodobieństwo trafienia 2 razy tego samego numeru z rzędu wynosi 1/10 000 razy. np. 6,88,77,1,1,9...

Ale jak obliczyć prawdopodobieństwo powtórzenia się 2 takich samych numerów podczas 10 losowań?

np.1,22,44,25,74,1,56,99,100,82.

Dziękuję za pomoc.-- 2 maja 2016, o 20:12 --nie wiem jak obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia 2 takich samych numerów po sobie, czy jest to 1:10 000 dla wszystkich numerów czy tylko dla każdego z osobna?

[kinia7]

jeśli weżmiemy pod uwagę jakąś konkretną liczbę, to prawdopodobieństwo, że po niej wystąpi ta sama =1/100

[anonimowy19922]

no tak samo jak dla 2 orłów prawd wynosi 1/2

[kinia7]

jak obliczyć prawdopodobieństwo powtórzenia się 2 takich samych numerów podczas n losowań?

\(\displaystyle{ k}\) - ilość numerów

\(\displaystyle{ |\Omega|=k^n}\)
przyjmę, że chodzi o sekwencje np. xNxxxxNxx, xxNxNxxxxx, xxxxxxNNx; (N - konkretny numer)
\(\displaystyle{ |A|= {n \choose 2} \cdot(k-1)^{n-2}}\)

jeśli tylko jeden (dowolny) numer występuje dokładnie dwukrotnie
\(\displaystyle{ |A|=k\cdot {n \choose 2} \cdot\frac{(k-1)!}{(k+1-n)!}}\)

jak obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia 2 takich samych numerów po sobie podczas n losowań?

\(\displaystyle{ k}\) - ilość numerów

\(\displaystyle{ |\Omega|=k^n}\)
przyjmę, że chodzi o sekwencje np. xNNxxxxx, xxxNNxxx, xxxxxxNN; (N - konkretny numer)
\(\displaystyle{ |A|=(n-1)\cdot(k-1)^{n-2}}\)

[anonimowy19922]

dlaczego k-1

-- 3 maja 2016, o 21:39 --

i czym się różnie|A|1 od |A|3 nie widzę różncy, opisałaś to identycznie.-- 3 maja 2016, o 21:57 --no i jeszcze taka sprawa że ja chciał bym uwzględnić każdy numer, nie tylko 1. wynik |A|1 muszę pomnożyć przez liczbę wszystkich numerów aby uzyskać odpowiedź?

nie gniewaj się ale trochę namotałaś, nie jestem wykształcony, choć coś czaje baze, ale to co napisałaś źle się czyta, i ciężko mi to zrozumieć.

[kinia7]

dlaczego k-1

wybrana liczba (N) może stać w dwóch miejscach - ilość możliwości to \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)
w każdym z tych ustawień zostaje \(\displaystyle{ (n-2)}\) miejsc, na których mogą stać pozostałe liczby
jest ich \(\displaystyle{ (k-1)}\), więc możliwości jest \(\displaystyle{ (k-1)^{n-2}}\)

czym się różnie|A|1 od |A|3 nie widzę różncy, opisałaś to identycznie.

w A1 mamy dwie liczby N w dowolnych miejscach
w A3 dwie liczby N znajdują się zawsze obok siebie

no i jeszcze taka sprawa że ja chciał bym uwzględnić każdy numer, nie tylko 1. wynik |A|1 muszę pomnożyć przez liczbę wszystkich numerów aby uzyskać odpowiedź?

niestety nie
jeżeli liczymy ilość możliwości dla np. N=13, to na pozostałych miejscach znajdzie się między innymi dwa razy liczba np. 27
jeżeli następnie liczymy ilość możliwości dla N=27, to na pozostałych miejscach znajdzie się między innymi dwa razy liczba 13
czyli dodając A1 dla N=13 do A1 dla N=27 dwukrotnie policzymy sekwencje np. xx13xxx27xxxx, x27xxxxxx13 itd

[anonimowy19922]

No niestety dalej nie rozumiem dlaczego od wszystkich numerów odejmujemy 1. No przykro mi ale nie ma to dla mnie logiki.

Mamy 37 numerów i obliczamy prawdopodobieństwo wystąpienia 2 takich samych numerów w 3 losowaniach,( co obliczamy? prawdopodobieństwo? wynik w liczbie całkowitej to nie prawdopodobieństwo! czyli czym jest |A|?), losujemy 3 razy.

Dla |A|1
mój wynikł wyszedł 54, ale powinien wyjść 4107.

Mamy następujące możliwości.

XXO
XOX
OXX.
Więc dla jednego numeru ze zbioru 37 to 111 kombinacji.
Jeżeli dla X podstawimy dany numer ze zbioru 37(0-36)
Więc dla 37 numerów to 4107 kombinacji.

Pogubiłem się w tym całkowicie.

[kinia7]

Mamy 37 numerów i obliczamy prawdopodobieństwo wystąpienia 2 takich samych numerów w 3 losowaniach,( co obliczamy? prawdopodobieństwo? wynik w liczbie całkowitej to nie prawdopodobieństwo! czyli czym jest |A|?), losujemy 3 razy.

\(\displaystyle{ A}\) to zbiór zdarzeń spełniających nasze założenia
\(\displaystyle{ |A|}\) to jest ilość tych zdarzeń
\(\displaystyle{ |\Omega|}\) to jest ilość wszystkich możliwych zdarzeń
prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A\quad P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \le 1}\)

tutaj mamy \(\displaystyle{ k=37}\) numerów, ilość losowań \(\displaystyle{ n=3}\)
w sekwencji jako pierwszy może być jeden z 37 numerów
jako drugi może być jeden z 37 numerów
jako trzeci może być jeden z 37 numerów
więc wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ |\Omega|=37\cdot37\cdot37=37^3=k^n}\)

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie: w sekwencji trzech wylosowanych numerów jeden z nich (N) występuje dwukrotnie
czyli interesują nas sekwencje NNx, NxN, xNN, jest ich \(\displaystyle{ 3= {3 \choose 2}= {n \choose 2}}\)
za każdym razem w miejscu x może wystąpić jeden z \(\displaystyle{ 36=37-1=k-1}\) pozostałych numerów
(bo przyjmuję, że N ma wystąpić dokładnie dwa razy, czyli NNN odpada)
razem \(\displaystyle{ |A|=3\cdot36=108= {n \choose 2}\cdot(k-1)^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{108}{37^3} \approx 0,00213}\)

\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie: w sekwencji trzech wylosowanych numerów dwukrotnie występuje dowolny numer
\(\displaystyle{ |B|=37\cdot|A|=37\cdot108}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{37\cdot108}{37^3} \approx 0,07889}\)

\(\displaystyle{ C}\) - zdarzenie: w sekwencji trzech wylosowanych numerów co najmniej dwukrotnie występuje dowolny numer (czyli wliczamy jeszcze sekwencje NNN)
\(\displaystyle{ |C|=37\cdot\left( |A|+1\right) =37\cdot109}\)
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{37\cdot109}{37^3} \approx 0,07962}\)

[anonimowy19922]

razem \(\displaystyle{ |A|=3\cdot36=108= {n \choose 2}\cdot(k-1)^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{108}{37^3} \approx 0,00213}\)

Dlaczego 108, czy nie powinno wyjść 54?
\(\displaystyle{ |A|{3 \choose 2}\cdot(37-1)^{3-2}}\)

2. A jak wygląda to dla 5 losowań?

Wychodzi mi jakiś dziwny wynik po podstawieniu do wzoru; 116640.

A jeszcze zastanawiam się jak obliczyć sytuację gdzie wystąpą 2 pary: N1,N,N1,N,x.


Jeżeli to strata czasu dla Ciebie to nie odpisuj.
Dziękuję za pomoc.

[kinia7]

\(\displaystyle{ 3\cdot36=108=2\cdot54 \neq 54}\)-- 5 maja 2016, o 21:41 --

Dlaczego 108, czy nie powinno wyjść 54?

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie: w sekwencji trzech wylosowanych numerów jeden z nich (N) występuje dwukrotnie
czyli interesują nas sekwencje NNx, NxN, xNN, jest ich \(\displaystyle{ 3}\)
za każdym razem w miejscu x może wystąpić jeden z \(\displaystyle{ 36}\) pozostałych numerów
(bo przyjmuję, że N ma wystąpić dokładnie dwa razy, czyli NNN odpada)
razem \(\displaystyle{ |A|=3\cdot36=108}\)

\(\displaystyle{ |A|{3 \choose 2}\cdot(37-1)^{3-2}}\)

\(\displaystyle{ |A|=\frac{3!}{2!(3-2)!}\cdot36^1=\frac{6}{2\cdot1}\cdot36=108}\)

A jak wygląda to dla 5 losowań?

\(\displaystyle{ |\Omega|=37^5}\)
\(\displaystyle{ |A|= {5 \choose 2} \cdot 36^3=\frac{5!}{2!(5-2)!}\cdot36^3=10\cdot36^3}\)

A jeszcze zastanawiam się jak obliczyć sytuację gdzie wystąpą 2 pary: N1,N,N1,N,x.

\(\displaystyle{ |\Omega|=37^5}\)
N1 może wystąpić w dwóch miejscach z pięciu
N może wystąpić w dwóch miejscach z trzech pozostałych
na pozostałym miejscu może być dowolny numer z 35 pozostałych
\(\displaystyle{ |A|= {5 \choose 2} \cdot {3 \choose 2} \cdot 35}\)

[anonimowy19922]

już wszystko wiem, zabrakło mi wiedzy o symbolu newtona. Dziękuję za pomoc.
swoją drogą wybiorę się też na jakieś lekcje.

[kinia7]

\(\displaystyle{ D}\) - zdarzenie: w sekwencji pięciu numerów występują dwie pary dowolnych numerów w dowolnym układzie

\(\displaystyle{ |D|= {5 \choose 2}\cdot37\cdot {3 \choose 2} \cdot36\cdot {1 \choose 1} \cdot35\cdot\frac12=699300}\)

\(\displaystyle{ |\Omega|=37^5=69343957}\)

\(\displaystyle{ P(D)=\frac{699300}{69343957} \approx 0,01}\)-- 8 maja 2016, o 20:51 --

no i jeszcze taka sprawa że ja chciał bym uwzględnić każdy numer, nie tylko 1. wynik |A|1 muszę pomnożyć przez liczbę wszystkich numerów aby uzyskać odpowiedź?

niestety nie, trzeba uwzględnić powtarzające sie sekwencje
\(\displaystyle{ n=5\quad k=37}\)
\(\displaystyle{ |A_1|= {5 \choose 2} \cdot 36^3=466560}\)
\(\displaystyle{ 37 \cdot |A_1|=17262720}\)

uwzględniając każdy numer
\(\displaystyle{ |A_{37}|=37\cdot {5 \choose 2} \cdot 36^3- {5 \choose 2} \cdot 37 \cdot {3 \choose 2} \cdot 36 \cdot 35 \cdot \frac12=16563420}\)
\(\displaystyle{ P(A_{37})=\frac{16563420}{37^5} \approx 0,239}\)

[anonimowy19922]

Chciał bym obliczyć prawdopodobieństwo powtórzenia się tego samego numeru poraz drugi w 18 losowaniach spośród 37 numerów.

Mój wynik wyszedł w zaokrągleniu: 2.6675

Czy mógł ktoś sprawdzić czy jest on prawidłowy? dziękuję

[Premislav]

To, że wynik jest niepoprawny, wiadomo nawet bez obliczeń. Prawdopodobieństwo nie może być większe niż \(\displaystyle{ 1}\).

[anonimowy19922]

Nie rozumiem gdzie zrobiłem błąd.
\(\displaystyle{ |A|= {18 \choose 2} \cdot(37-1)^{18-2}}\)
Omega \(\displaystyle{ 37^{18}}\)

czy mógł by mi ktoś pomóc jak do tego podejść?

uważam że nie zrobiłem żadnego błędu