Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y)

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Maxym92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 28 paź 2015, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y)

Post autor: Maxym92 »

Cześć,

Dwuwymiarowa zmienna losowa ciągła (X,Y) ma funkcję gęstości łącznej postaci:

\(\displaystyle{ f(x,y) \begin{cases}Cx^2y ~~gdy~~ -1 \le x \le 1, 0 \le y \le 2 \\ 0~~gdy~~przeciwnie \end{cases}}\)

Wyznacz C oraz wartość dystrybuanty F( 2 , 1).

Jak to ugryźć? Nie do końca rozumiem nawet jak interpretować "przeciwnie".
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y)

Post autor: leszczu450 »

Maxym92, gęstość ma się całkować do jedynki. Tutaj masz całkę po prostokącie.
Maxym92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 28 paź 2015, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y)

Post autor: Maxym92 »

leszczu450

Dzięki. Jako prostokąt mam uznać \(\displaystyle{ R=[-1,1] \times [0,2]}\)?

Wychodzi mi wtedy takie cudo:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} Cx^2y~dxdy, R=[-1,1] \times [0,2]}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \int_{-1}^{1} Cx^2y~dxdy=1}\)

Liczyć to dalej, czy głupoty?
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y)

Post autor: leszczu450 »

Maxym92, liczyć dalej. Jest ok : )
Maxym92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 28 paź 2015, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y)

Post autor: Maxym92 »

Dzięki . Rozbiłem sobie całość na 4 mniejsze całki.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} Cx^2ydy=Cx^2 \int_{}^{} ydy= \frac{1}{2}Cx^2y^2}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}Cx^2ydy=C[ \frac{1}{2}x^2y^2]|^{2}_{0}=C2x^2}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} C2x^2dx=C2 \int_{}^{} x^2dx= C*2* \frac{1}{3}x^3=C* \frac{2}{3}x^3}\)
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} C2x^2dx=C[ \frac{2}{3}x^3]|^{1}_{-1}=C( \frac{2}{3}+ \frac{2}{3})= \frac{4}{3}C}\)

Całość przyrównałem do 1, dlatego:

\(\displaystyle{ \frac{4}{3}C=1}\)
\(\displaystyle{ C= \frac{3}{4}}\)

Odpowiedź na punkt pierwszy mam - \(\displaystyle{ C= \frac{3}{4}}\)

Mam teraz problem z dystrybuantą. O ile wreszcie zrozumiałem na prostszych przykładach to tutaj znowu ciemna magia .
ODPOWIEDZ