Prawdopodobieństwo wylosowania owocu.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
dsdonia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 10 lut 2011, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Prawdopodobieństwo wylosowania owocu.

Post autor: dsdonia »

Cześć. Teoretycznie umiem robić takie zadania, a tego w ogóle nie rozumiem i przez to nawet nie wiem jak się do niego zabrać.

Bardzo proszę o pomoc i jakieś wskazówki.

W koszu mamy 48 owoców, wśród nich jest 12 jabłek.
Rozdajemy kolejno czwórce osób po 12 owoców.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza osoba otrzyma 5 jabłek,
druga 4 jabłka, trzecia 2 jabłka, a czwarta jedno jabłko?

Czy powinnam korzystać z tego wzoru:

\(\displaystyle{ P_{n}(k)}\)=\(\displaystyle{ {n\choose k}}\) \(\displaystyle{ \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}}\)

Jeśli tak, to co powinno być moim \(\displaystyle{ k}\) - raz \(\displaystyle{ 5}\), raz \(\displaystyle{ 4}\) itd ? I za każdym razem o \(\displaystyle{ 12}\) mniej w \(\displaystyle{ n}\)? Ale co później, jak będę miała 4 wyniki? Nieee, no zupełnie tego nie rozumiem...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Prawdopodobieństwo wylosowania owocu.

Post autor: Premislav »

Cześć. Odpowiedź do zadania to

\(\displaystyle{ \frac{{12 \choose 5}{36 \choose 7}{7 \choose 4}{29 \choose 8}{3\choose 2}{21 \choose 10}}{{48 \choose 12}{36 \choose 12}{24 \choose 12}}\approx 0,004457}\)
dsdonia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 10 lut 2011, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Prawdopodobieństwo wylosowania owocu.

Post autor: dsdonia »

Dzięki! A mogłabym prosić poszczególne kroki, skąd to się wzięło? Bo to, jeszcze niewiele mi mówi, a chciałabym zrozumieć
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Prawdopodobieństwo wylosowania owocu.

Post autor: Premislav »

Jasne. Nie wiem w sumie, czemu tak to napisałem.

Najpierw \(\displaystyle{ \left| \Omega\right|}\), czyli mianownik: liczę sposoby rozdania \(\displaystyle{ 48}\) owoców \(\displaystyle{ 4}\) osobom w taki sposób, by każda otrzymała \(\displaystyle{ 12}\) owoców. Zatem pierwsza osoba może otrzymać \(\displaystyle{ {48 \choose 12}}\) - wybieram dwanaście spośród czterdziestu ośmiu (znasz symbol Newtona i jego intepretację? To ważne), następnie dla drugiej osoby zostało 36 owoców do wyboru, więc mamy \(\displaystyle{ {36 \choose 12}}\) możliwości - dwanaście spośród pozostałych (niewybranych dla pierwszej osoby) trzydziestu sześciu, potem dla trzeciej \(\displaystyle{ {24 \choose 12}}\) itd. (zauważ, że dla ostatniej osoby zostaje już tylko \(\displaystyle{ 12}\) owoców do wyboru, a ma ona otrzymać \(\displaystyle{ 12}\), stąd mamy jedną możliwość wyboru). No i korzystamy z reguły mnożenia. W ten sposób mamy mianownik.

Teraz licznik. Pierwszej osobie przydzielamy \(\displaystyle{ 5}\) spośród \(\displaystyle{ 12}\) jabłek i \(\displaystyle{ 7}\) z \(\displaystyle{ 36}\) (czyli \(\displaystyle{ 48-12}\)) pozostałych (tj. niebędących jabłkami) owoców, tak aby w sumie pierwsza osoba dostała \(\displaystyle{ 12}\) owoców.
Dla drugiej osoby zostało zatem \(\displaystyle{ 12-5=7}\) jabłek do wyboru (pięć już przydzieliliśmy pierwszemu) i \(\displaystyle{ 36-7=29}\) innych owoców (siedem już przydzieliliśmy pierwszemu).
No i znowu reguła mnożenia.
dsdonia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 10 lut 2011, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Prawdopodobieństwo wylosowania owocu.

Post autor: dsdonia »

Wielkie dzięki!! Ogarniam wszystko
ODPOWIEDZ