Losowanie dwóch liczb, iloraz

[Milczek]

Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3.....,50\right\}}\) losujemy dwie liczby i tworzymy pary liczb \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\).

Oblicz prawdopodobieństwo że iloraz \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ \left(1;2\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = 50 \cdot 49}\), tu akurat wiadomo dlaczego, natomiast niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zbiór par liczb takich że spełniają warunki zadania.

Wiadomo że skoro mamy \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ a \in \left\langle b+1;2b\right\rangle}\) i że \(\displaystyle{ b \in \left\{ 1,2,3...,25\right\}}\)

Tylko jak mam zliczyć te pary liczb ?

[dec1]

Dla \(\displaystyle{ b=1}\) mamy jedną parę, dla \(\displaystyle{ b=2}\) mamy dwie pary, dla \(\displaystyle{ b=3}\) mamy trzy pary, dla \(\displaystyle{ b=4}\) mamy cztery pary, dla \(\displaystyle{ b=5}\) ...

[Milczek]

Tak liczyłem , i mamy sumę \(\displaystyle{ (1+25)\cdot 25 \cdot \frac{1}{2}}\).

Ale tych par ma być podobno \(\displaystyle{ 2(1+2+...+24) + 25}\) i coś gdzieś nie gra.

[dec1]

\(\displaystyle{ b}\) może być większe od \(\displaystyle{ 25}\).

[Milczek]

no właśnie... dzięki