Rozkład normalny, mediana, wariancja i prawdopodobieństwo.

[Shiori]

Treść:
Iloraz inteligencji IQ osób w pewnej populacji ma rozkład normalny z parametrami m =100, s = 16.
a) Ile wynosi mediana i wariancja ilorazu inteligencji w tej populacji?
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że IQ wybranej losowo osoby przekroczy 132.
c) Jaki procent populacji ma IQ w granicach 98 do 106?
d) Wskazać poziom IQ, którego nie przekracza 70% populacji.
e) Ile co najmniej wynosi IQ osoby, która znajduje się w gronie 15% osób z najwyższym wskaźnikiem?

Próbowałam to rozwiązać. Ale nie umiem zrobić wszystkich podpunktów i mam parę pytań.
Czy m i s to odpowiedniki \(\displaystyle{ \mu, \sigma}\)?
a) czy mediana wynosi 100 a wariancja 256?

b) \(\displaystyle{ X \sim N(100, 16)}\)
\(\displaystyle{ P(x < 132)= \Phi ( \frac{136-100}{16}) = \Phi (2,25) = 0,9946}\)
(tyle nie przekracza)
\(\displaystyle{ 1 - 09946 = 0,0054}\)
Czyli 0,54% przekracza 132 IQ

c) podzieliłam sobie to tak, że policzyłam ile % ma mniej niż 98 a ile więcej niż 106.
\(\displaystyle{ P(x < 98)= \Phi ( \frac{98-100}{16}) = \Phi (-0,125) = 1 - \Phi (0,125) = 1 - 0,5517 =0,4483}\)
W tabelce mam opisane wartości dystrybuanty do 2 miejsca po przecinku, więc rozumiem, że mogę zaokrąglić 0,125 do 0,13
\(\displaystyle{ P(x > 106)= 1 - ( \Phi ( \frac{106-100}{16})) = 1 - (\Phi (0,375)) = 1 - 0,6480 = 0,352}\)
Teraz 100% - 44,83% - 35,2% = 19,97%

d) \(\displaystyle{ x \le q_{0,7}}\) kwantyl rzędu 0,7 dla \(\displaystyle{ N(100, 16)}\)
Niestety tutaj nie wiem co zrobić.
Zaczęłam tak:
\(\displaystyle{ \frac{q_{0,7} - 100}{16} = ...}\)
I nie wiem jak sobie z tym poradzić.

To samo punkt e).

Proszę o pomoc i wyjaśnienie jak to zrobić. Oraz sprawdzenie czy to co zrobiłam jest poprawne.

[SlotaWoj]

Zazwyczaj stosuje się takie oznaczenia:

• \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ s}\) – średnia i odchylenie standardowe w próbie,
  \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \sigma}\) – średnia i odchylenie standardowe w populacji

czyli nie odpowiedniki, ale pojęciowo związane, bo pierwsze są (zazwyczaj) estymatorami drugich i w temacie powinny być użyte \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \sigma}\).

[Shiori]

Więc wariancja będzie wynosiła odchylenie standardowe podniesione do potęgi 2?
Jak wyżej napisałam 256.
Jak na podstawie tych danych wyliczyć medianę?
I prosiłabym jeszcze o pomoc do reszty zadania.

[SlotaWoj]

Dla rozkładu normalnego mediana jest równa wartości średniej (wartości oczekiwanej).

[Shiori]

Ok, więc rozumiem, że punkt a) mam poprawnie.

Jak jest z poprawnością b) i c)?
Oraz jak wykonać d) i e)?
Mam kilka tego typu zadań ale niestety nie mam do nich przykładu z rozwiązaniem.-- 16 kwi 2016, o 10:20 --Mógłby ktoś pomóc?

[jaspear]

Również proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie.

[SlotaWoj]

W c) można prościej:

• \(\displaystyle{ P(98<x<106)=P(x<106)-P(x<98)}\)

W d) i e) jak nie ma się tablicy odwrotności dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego \(\displaystyle{ x(\Phi)}\) (są rzadko spotykane, ale są), to należy w lewej kolumnie tablicy dystrybuanty ww. rozkładu szukać zestandaryzowanej wartości zmiennej losowej, dla której w prawej kolumnie jest zadany kwantyl rozkładu. Gdy posiadana tablica nie jest wystarczająco gęsta, należy wspomóc się interpolacją liniową.
Można też wykorzystać funkcję Rozkład.Normalny.Odw (polska nazwa) lub NormInv (angielska nazwa) Excela.