Zadania - rozkład normalny, średnia, wariancja

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Shiori
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 8 mar 2014, o 00:58
Płeć: Kobieta

Zadania - rozkład normalny, średnia, wariancja

Post autor: Shiori »

Witam. Mam dwa zadania, na których prosiłabym o pomoc w temacie rozkładu normalnego, średniej i wariancji.
Niestety na wykładzie pojawił się tylko jeden przykład z tego typu zadań i nie potrafię zrobić innych, gdzie treść się różni (np. szukam danych mniejszych od średniej itp).

Treść zadań:
Zadanie 1
Wysokość miesięcznego czynszu płaconego przez losowo wybraną rodzinę w pewnym regionie kraju jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wartości średniej 360(zł) oraz wariancji 10000 \(\displaystyle{ (zl^{2})}\). Jaki procent rodzin płaci czynsz nie przekraczający 300zł?

Zadanie 2
Można założyć, że wysokość miesięcznego czynszu płaconego przez losowo wybraną rodzinę w stolicy jest zmienną losową X mającą rozkład normalny o wysokości \(\displaystyle{ \mu = 600(zł)}\) i wariancji \(\displaystyle{ \sigma^{2} = 400^{2}(zl^{2})}\). Jaki procent rodzin płaci czynsz większy niż 500zł?

Więc tak, wiem że mam zacząć od:
\(\displaystyle{ X \sim N(\mu, \sigma)}\)

Zadania zrobiłam 2 sposobami (nie wiem czy są poprawne.. próbowałam jedno robić z wykładem, jedno z ćwiczeniami).

Zadanie 1:
\(\displaystyle{ X \sim N(360, 100)}\)
tutaj nie jestem pewna czy to dobrze, miałam przykład gdzie wartości były większe od x.
\(\displaystyle{ P(x \le 300) = \Phi ( \frac{300-360}{100}) = \Phi (-0,6) = 1 - \Phi (0,6) = 1 - 0,7257 = 0,2743}\)
Czyli 27,43% rodzin płaci czynsz większy niż 500zł

Zadanie 2.
\(\displaystyle{ X \sim N(600, 400)}\)
Tutaj próbowałam robić z całkami, ale znów przykłady był inne i nie wiem czy zmiana liczb wystarczy.
\(\displaystyle{ \int_{500}^{ \infty } f(x)dx = \int_{ \frac{500-600}{400} }^{ \infty } \varphi (z)dz = \int_{-0,25}^{ \infty } \varphi (z)dz = \Phi (-0,25) = 1 - \Phi (0,25) = 1 - 0,5987 = 0,4023}\)
Czyli w przybliżeniu 40% rodzin płaci czynsz większy niż 500.

Mam wrażenie, że mimo wszystko nie rozumiem tych zadań i proszę o wyjaśnienie lub podanie poprawnych rozwiązań.
Z góry dziękuję za pomoc.
miodzio1988

Zadania - rozkład normalny, średnia, wariancja

Post autor: miodzio1988 »

zad 1 ok
Literówkę masz tylko
Czyli 27,43% rodzin płaci czynsz większy niż 300zł
zad 2

A po co? Robisz to tak samo jak zad 1
Awatar użytkownika
Shiori
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 8 mar 2014, o 00:58
Płeć: Kobieta

Zadania - rozkład normalny, średnia, wariancja

Post autor: Shiori »

miodzio1988 pisze:zad 1 ok
Literówkę masz tylko
Czyli 27,43% rodzin płaci czynsz większy niż 300zł
A, faktycznie, dziękuję. Spojrzałam nie na to zadanie pisząc odpowiedź.
Jeszcze takie pytanie, w tym przypadku było że "nie przekraczający 300".
Co jeśli zmieniono by na większy niż 300zł, do 300zł itp. Właśnie tutaj nie rozumiem, zmieniam tylko znak w pierwszym nawiasie obok x? Ale to reszta obliczeń jest taka sama, a przecież pytanie byłoby inne.
miodzio1988 pisze: zad 2
A po co? Robisz to tak samo jak zad 1
\(\displaystyle{ P(x > 500) = \Phi ( \frac{500-600}{400}) = \Phi (-0,25) = 1 - \Phi (0,25) = - 0,5987 = 0,4023}\)
Tak?
miodzio1988

Zadania - rozkład normalny, średnia, wariancja

Post autor: miodzio1988 »

No nie.

Korzystasz z tego, że

\(\displaystyle{ P(x > 500)=1-P(x <500)}\)
Awatar użytkownika
Shiori
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 8 mar 2014, o 00:58
Płeć: Kobieta

Zadania - rozkład normalny, średnia, wariancja

Post autor: Shiori »

A, rozumiem, więc:
\(\displaystyle{ P(x > 500)=1-P(x <500) =1 - ( \Phi ( \frac{500-600}{400})) = 1- (\Phi (-0,25)) = 1 - (1 - \Phi (0,25)) = 1 - 0,4023 = 0,5977}\)
czyli 59,77% płaci czynsz większy niż 500zł.

Więc jak rozumiem, jeśli x ma być większy niż liczba podana w zadaniu, to robię to sposobem, który podałeś wyżej. Jeśli mniejszy to tak jak w 1 zadaniu.
Znaki
\(\displaystyle{ \ge i \le}\)
nie mają wpływu na rozwiązanie i sposób jest ten sam?
miodzio1988

Zadania - rozkład normalny, średnia, wariancja

Post autor: miodzio1988 »

Zgadza się
Awatar użytkownika
Shiori
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 8 mar 2014, o 00:58
Płeć: Kobieta

Zadania - rozkład normalny, średnia, wariancja

Post autor: Shiori »

Bardzo dziękuję za pomoc
ODPOWIEDZ