Zmienną losową X o gęstości

[Maxym92]

Witam,
mam takie zadanie:

Dana jest zmienną losową X o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)=egin{cases}0 dla x<-1 \ x^4+x^2 dla x in [-1,0) \C sin x dla x in [0, pi /2) \0 dla x ge pi /2end{cases}}\)

(a) Oblicz stałą C i dystrybuantę zmiennej X.
(b) Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej X

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }f(x)\mbox{dx}=1 \iff \int_{- \infty }^{-1} 0\mbox{dx}+ \int_{-1}^{0}(x^4+x^2)\mbox{dx}+C \int_{0}^{\pi/2} \sin x\mbox{dx} + \int_{\pi/2}^{+ \infty } 0\mbox{dx}=1}\)
Mam już z tego utworzoną całkę, którą rozbiłem na kilka części:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{-1} 0\mbox{dx} = 0}\)
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}(x^4+x^2)\mbox{dx}= [\frac{1}{5}x^5+ \frac{1}{3}x^3]|^0_{-1}=0-(- \frac{8}{15})= \frac{8}{15}}\)
\(\displaystyle{ C \int_{0}^{\pi/2} \sin x\mbox{dx}=[-cosx]|^0_{-1}=-0-(-1)= C*1}\)
\(\displaystyle{ \int_{\pi/2}^{+ \infty } 0\mbox{dx}=0}\)

Zerknie ktoś czy ja tą całkę wgl dobrze obliczyłem? Nie do końca byłem pewien jak zachować się przy 0.
Dalej utworzyłem równanie:

\(\displaystyle{ 0+\frac{8}{15}+C*1+0=1}\)
\(\displaystyle{ C=\frac{7}{15}}\)

Zbieram się żeby robić tabelę pod dystrybuantę, ale wolałbym zapytać czy póki co jest okej.

Pozdrawiam

[Cosinus01]

Wydaje mi się, że jest dobrze.

[Maxym92]

Dziękuję . Wyznaczyłem dystrybuantę zmiennej X.

AU

DKmroY1.png (10.74 KiB) Przejrzano 176 razy

Zastanawiam się tylko nad wartością oczekiwaną, wcześniej liczyłem ze wzoru \(\displaystyle{ \mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i.}\), ale czy w tym przypadku nie powinienem skorzystać z \(\displaystyle{ \mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P}\)?

[Premislav]

No bezpośrednio to raczej żaden z tych wzorków się nie przyda. Możesz użyć takiego wzoru:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \int_{S}^{} x f_{X}(x)dx}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest nośnikiem rozkładu (tj. zbiorem na którym gęstość jest niezerowa), a \(\displaystyle{ f_{X}}\) to gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). To ogólnie jest wzór na wartość oczekiwaną dla zmiennej losowej o rozkładzie (absolutnie) ciągłym.
Dalej rozbijasz na dwie całeczki, jedna od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 0}\), druga od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \pi/2}\).

[miodzio1988]

Premislav, na wykres dystrybuanty nie zwrócisz uwagi? Bo jest zupełnie do bani zrobiony

[Premislav]

No fakt, dzięki, dobrze że zwróciłeś uwagę, dystrybuanta jest z definicji funkcją niemalejącą, więc od razu widać, że coś tu zupełnie nie gra. W ogóle nie popatrzyłem na ten obrazek, przepuściłbym taką kaszanę.

Maxym92, żeby znaleźć ogólny wzór dystrybuanty, mając gęstość, nie liczysz wcale takiej całki, jaką napisałeś.
To, co Ty tutaj policzyłeś:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}(x^4+x^2)\mbox{dx}= [\frac{1}{5}x^5+ \frac{1}{3}x^3]|^0_{-1}=0-(- \frac{8}{15})= \frac{8}{15}}\)

to jest dobrze scałkowane, ale to jest wartość dystrybuanty w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) minus wartość dystrybuanty w punkcie \(\displaystyle{ -1}\) (tak się składa, że to jest \(\displaystyle{ F(0)}\)). Itd.
Żeby znaleźć wzór określający dystrybuantę (to jest funkcja, a całki oznaczone z granicami liczbowymi, które napisałeś, to są różnice wartości tej funkcji w odpowiednich punktach), postępujesz trochę inaczej
- w przypadku rozkładu absolutnie ciągłego wartość dystrybuanty rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) (oznaczmy to \(\displaystyle{ F(x)}\)) to jest całka z gęstości:
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t) dt}\). F(x) to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ (-\infty,x]}\), tj. \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le x)}\).

Jeżeli chcesz wyznaczyć dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o gęstości jak w treści zadania, to powinieneś postąpić jakoś tak:
\(\displaystyle{ F_{X}(x)=\mathbf{P}(X \le x)= \int_{-\infty}^{x}f(t)dt}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) to gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). I teraz rozbij to na przedziały:
1. \(\displaystyle{ x < -1}\): całka oznaczona z zera to oczywiście zero;
2. \(\displaystyle{ xin [-1,0)}\): z powyższej obserwacji redukuje się to do \(\displaystyle{ \int_{-1}^{x} t^{4}+t^{2}\mbox{d}t}\)
3. \(\displaystyle{ x in [0,pi/2)}\): wtedy rozbijasz na \(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}t^{4}+t^{2} dt + \int_{0}^{\pi/2}C\sin x dx= \frac{8}{15}+}\)...
4. Dalej już jest ciągle \(\displaystyle{ 1}\), co powinno być oczywiste (gęstość dla \(\displaystyle{ x>\pi/2}\) jest zerowa, a całka z gęstości po całym \(\displaystyle{ \RR}\) to \(\displaystyle{ 1}\) - z powyższego wynika, że jest ona równa całce oznaczonej od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ \pi/2}\)).-- 14 kwi 2016, o 22:33 --To ogólnie jest nieporozumienie, że liczysz dystrybuantę, nie wiedząc czym jest dystrybuanta.
Zaopatrz się w jakieś notatki/książki z biblioteki (jeśli jesteś na niematematycznym kierunku, to książka Fellera pewnie będzie odpowiednia, choć jej nie lubię - I tom) albo poszukaj źródeł w necie, np.
... statystyka

[Maxym92]

Przepraszam bardzo. W zeszłym tygodniu robiłem sporo wykresów dystrybuant i dziś stwierdziłem że pamiętam, mimo że miałem przerwę.

AU

7VHQ8h0.png (10.82 KiB) Przejrzano 176 razy

Zależało mi żeby pokazac że przedział od \(\displaystyle{ \pi /2}\) jest zamknięty, a do \(\displaystyle{ \pi /2}\) otwarty.

Dzięki za link. Zdecydowanie będę korzystał, a właściwie to już korzystam .

Bazując na Twoim wzorze wyszedł mi taki potworek:

\(\displaystyle{ E(X)=\int_{ -\infty }^{ \infty }= \int_{-1}^{0}x(x^4+x^2)dx* \int_{0}^{ \pi /2} \frac{7}{15}sinx^2dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}x(x^4+x^2)dx=[ \frac{1}{6}x^6+ \frac{1}{4}x^4]|^{0}_{-1}=- \frac{5}{12}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi /2} \frac{7}{15}sinx^2dx=[ \frac{7}{15}*-xcos+sinx+C]|^{ \pi/2}_{0}= \frac{22}{15}}\)

\(\displaystyle{ E(X)=-\frac{5}{12}*\frac{22}{15}= -\frac{22}{45}}\)

Czy E(X) może być ujemne? czy pochrzaniłem coś z całkowaniem?

[Premislav]

Na pewno zapis masz nie za dobry, np. tutaj:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi /2} \frac{7}{15}sinx^2dx}\)

Tak nie można sobie żonglować iksami. Zazwyczaj \(\displaystyle{ x\sin x\neq \sin x^{2}}\). Tamten \(\displaystyle{ x}\) oznacza przecież argument funkcji sinus.
Podobnież na początku napisałeś

\(\displaystyle{ E(X)=\int_{ -\infty }^{ \infty }}\)

co jest bardzo bez sensu, no ale załóżmy, że po prostu zapomniałeś tsam wpisać to, co zamierzałeś.

Aha, tutaj:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi /2} \frac{7}{15}sinx^2dx=[ \frac{7}{15}*-xcos+sinx+C]|^{ \pi/2}_{0}= \frac{22}{15}}\)

oprócz wspomnianego \(\displaystyle{ \sin x^{2}}\) zamiast (poprawnego) \(\displaystyle{ x\sin x}\) w funkcji podcałkowej, to \(\displaystyle{ \frac{7}{15}}\) powinno być przed całością, a nie tylko przed \(\displaystyle{ -x\cos x}\). Możesz uznać, że zdecydowanie za dużo się czepiam, ale jeśli tak napiszesz na jakimś kolokwium, to możesz stracić bardzo wiele punktów, nawet jeśli wyniki będą poprawne.

Dalej:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi /2} \frac{7}{15}sinx^2dx=[ \frac{7}{15}*-xcos+sinx+C]|^{ \pi/2}_{0}= \frac{22}{15}}\)

nie wiem, skąd wziąłeś jakieś \(\displaystyle{ 22}\) w liczniku, mnie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{7}{15}}\)
Potem:

\(\displaystyle{ E(X)=-\frac{5}{12}*\frac{22}{15}= -\frac{22}{45}}\)

Nie, nie i jeszcze raz nie. Dlaczego pomnożyłeś przez siebie wartości tych całek? Powinieneś je dodać, pomijając to, że już masz niedobrze to \(\displaystyle{ \frac{22}{15}}\).

Wykres dystrybuanty jest dalej niepoprawny, ona nie jest w tym zadaniu przedziałami stała.
A to, czy tamten przedział domkniemy, czy nie, w przypadku rozkładu mającego gęstość jest zupełnie nieistotne, bo całka jest niewrażliwa na zmiany wartości na zbiorach miary zero (czyli w jakimś sensie małych, tutaj np. \(\displaystyle{ \left\{ \pi/2\right\}}\), który jest jednoelementowy).

Poprawne rozwiązanie zadania:
ze stałą \(\displaystyle{ C}\) już sobie poradziłeś, istotnie jest ona równa \(\displaystyle{ \frac{7}{15}}\).
Znajduję więc dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F(x)= int_{-infty}^{x}f(t)dt= egin{cases} 0 ext{ gdy }x<-1\ int_{-1}^{x}t^{4}+t^{2}dt ext{ gdy }xin[-1,0) \ frac{8}{15}+ frac{7}{15} int_{0}^{ frac{pi}{2} }sin x dx ext{ gdy } xin [0, pi/2] \ 1 ext{ gdy }x ge pi/2end{cases}=\= egin{cases} 0 ext{ gdy } x<-1\ frac{x^{5}}{5}+ frac{x^{3}}{3}+ frac{8}{15} ext{ gdy }x in [-1,0) \ 1- frac{7}{15}cos x ext{ gdy }x in [0, pi/2) \1 ext{ gdy }x ge pi/2 end{cases}}\)

Natomiast \(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx= \int_{-1}^{0}x^{5}+x^{3}dx+ \frac{7}{15} \int_{0}^{\pi/2}x\sin x dx=- \frac{5}{12} - \frac{7}{15} x\cos x\bigg|^{x=\pi/2}_{x=0}+ \frac{7}{15} \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx =- \frac{5}{12}+ \frac{7}{15}= \frac{1}{20}}\)
A wykresu dystrybuanty nie zrobię, bo nie umiem tworzyć obrazków (chyba że w Paincie ). Jeśli przeczytasz ze zrozumieniem trochę np. z zalinkowanej przeze mnie strony, to zrozumiesz, skąd się to bierze.
W ogólności wartość oczekiwana jak najbardziej może być ujemna, ale akurat tutaj tak nie jest.