Rozkład normalny z podaną wartością średnią i wariacją

[Maxym92]

Witam,
mam takie zadanko:

Niech zmienną losową o X ma rozkład normalny o wartości średniej 6 oraz wariancji 4. Znajdź punkt a taki, że \(\displaystyle{ P(X>a)=0.4}\)

Nie mam za bardzo pomysłu jak to ugryźć :/.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X>a)=\mathbf{P}\left( \frac{X-6}{ \sqrt{4} } > \frac{a-6}{ \sqrt{4} } \right) =1-\Phi\left(\frac{a-6}{ \sqrt{4} } \right)}\), bo jeśli \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^{2})}\), to \(\displaystyle{ \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)}\). Następnie znajdujesz w tablicach dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego taki argument, dla którego jest przyjmowana wartość \(\displaystyle{ 0,4}\) i korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ 1-\Phi(x)=\Phi(-x)}\), gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.-- 14 kwi 2016, o 10:08 --Summa summarum daje to równanie \(\displaystyle{ \frac{6-a}{2}=}\)...

[Maxym92]

Przepraszam, ale będą musiał dopytać, bo strasznie ciężko idzie mi ogarnięcie tego przedmiotu.

\(\displaystyle{ \mu=6}\) - wartość średniej
\(\displaystyle{ \sigma=4}\) - wariancja

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X>a)=\mathbf{P}\left( \frac{X-6}{ \sqrt{4} } > \frac{a-6}{ \sqrt{4} } \right) =1-\Phi\left(\frac{a-6}{ \sqrt{4} } \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{X-6}{ \sqrt{4} } =1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a-6}{ \sqrt{4} } =\Phi(\frac{a-6}{ \sqrt{4} })}\)

\(\displaystyle{ \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)]}\)

Przepraszam że wszystko rozpisałem jeszcze raz, ale wolę się upewnić że dobrze rozumiem. Do tego momentu jest okej. Niestety dalej delikatnie się zaciąłem. Zacząłem szukać w tablicach argumentu dla którego dystrybuanta = 0.4, ale wszędzie widzę że tablice zaczynają się od 0.5. Co ciekawe u mnie w wykładach o żadnych tablicach nie ma słowa i zawsze liczyłem wszystko ręcznie :/. Źle sprawdzam czy w tym przypadku trzeba będzie liczyć jednak samemu?

[Premislav]

Nie sądzę, że należy liczyć samemu. Życzę powodzenia w rozwiązywaniu równania \(\displaystyle{ 0,4= \int_{-\infty}^{t} \frac{1}{ \sqrt{2\pi} } e^{- \frac{x^{2}}{2} }dx}\) ze względu na \(\displaystyle{ t}\)...
Całka nieoznaczona jest nieelementarna, żadnego sprytnego sposobu na policzenie tego tez nie widzę.

Skoro wartości się zaczynają od \(\displaystyle{ 0,5}\) (fakticznie, moje też), to znajdź \(\displaystyle{ x}\), dla którego dystrybuanta przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0,6}\), a następnie skorzystaj z podanej przeze mnie równości
\(\displaystyle{ 1-\Phi(x)=\Phi(-x)}\) (czyli bierzesz tu \(\displaystyle{ \Phi(x)=0,6}\) i jak znajdziesz \(\displaystyle{ x}\), to stąd dostaniesz też \(\displaystyle{ -x}\)).

[Maxym92]

Ok, czyli:

\(\displaystyle{ 1-\Phi( \frac{a-\mu}{\sigma})=0,4}\)
\(\displaystyle{ \Phi( \frac{a-\mu}{\sigma})=0,6}\)

Skorzystałem z tablic i dla 0,6 jest to 0,253347

\(\displaystyle{ ( \frac{a-\mu}{\sigma})=0,253347}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{a-6}{2})=0,253347}\)
\(\displaystyle{ a = 6.50669}\)

Najgorsze w tym jest póki co to że nie do końca rozumiem skąd to się bierze :/. Chyba sporo godzin korepetycji jeszcze przede mną, bo siedzę nad tym, a póki co to jak grochem.