Rozkład Cauchego z wykorzystaniem tablic

[mrCoorazy]

Zadanie do rozwiązanie jest krótkie.

\(\displaystyle{ U_1 \sim \mathcal{N}(0,1)}\)
\(\displaystyle{ U_2 \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

Należy obliczyć: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(U_2 \geq 2U_1)}\)
Do dyspozycji mam stablicowany rozkład normalnych. Stosunek zmiennych losowych \(\displaystyle{ \frac{U_1}{U_2}}\) ma rozkład Cauchego, jednak dalej nie wiem jak rozwiązać zadanie i czy ten fakt jest istotny.

Mógłbym skorzystać ze wzorów podanych tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Slash_distribution

, jednak nie lubię uczyć się wzorów na pamięć. Dodatkowo, tutaj

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function

dole jest podobny przykład, jednak nie wiem jak wykorzystać tablicę rozkladu normalnego do tego.

Z góry dziękuję za pomoc.-- 13 kwi 2016, o 13:48 --Tak, są niezależne. Jak można to wykazać?

[Premislav]

Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ U_{1}}\) i \(\displaystyle{ U_{2}}\) są niezależne? Jeżeli tak, to po prostu \(\displaystyle{ \mathbf{P}(U_{2}\ge 2U_{1})=\mathbf{P}(U_{2}-2U_{1}\ge 0)}\) i z funkcji tworzących momenty można łatwo wykazać, że \(\displaystyle{ U_{2}-2U_{1} \sim \mathcal{N}(0,5)}\) (drugi parametr to w moim zapisie wariancja).

A z ilorazem uważaj na zwroty nierówności, bo co będzie, jeśli dzielnik będzie ujemny?
Poza tym rozkład Cauchy'ego chyba nie jest stablicowany.

-- 13 kwi 2016, o 12:59 --

Funkcją tworzącą momenty rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^{2})}\) jest
\(\displaystyle{ M(t)=e^{\mu t+ \frac{\sigma^{2}t^{2}}{2} }}\). Funkcja tworząca momenty sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji tworzących momenty, bo
\(\displaystyle{ f(x)=\exp(tx)}\) jest borelowska. Ponadto \(\displaystyle{ M_{\alpha X}(t)=M_{X}(\alpha t)}\) dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ \alpha}\). Reszta to rachunki.