Rozkład wykładniczy - wartość oczekiwana

[karolcia_23]

Hej mam pytanie jeśli \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) jest próbą z rozkładu \(\displaystyle{ E\left( \frac{1}{\lambda}\right )}\) to czemu \(\displaystyle{ EX_{1:n}=\frac{\lambda}{n}}\) skoro \(\displaystyle{ EX=\frac{1}{\lambda}}\) a w tym przypadku \(\displaystyle{ EX=\lambda}\)

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E}xp\left( \frac{1}{\lambda} \right)}\), to funkcja gęstości
rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) ma następującą postać:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\lambda}e^{- \frac{1}{\lambda} x}\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(x)}\),
a zatem \(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \int_{0}^{+\infty }x\frac{1}{\lambda}e^{- \frac{1}{\lambda} x}=\lambda}\)
No i reszta wynika z jakiejś tam liniowosci wartości oczekiwanej.
Przynajmniej tak mnie uczono, nie wiem, może miałaś jakąś inna konwencję notacyjną.

A właśnie, co to jest \(\displaystyle{ X_{1:n}}\)? bo podany wynik sugeruje, że to jest średnia z próby, ale wydaje mi się, że u mnie tak oznaczano n-tą statystykę porządkową.

[karolcia_23]

Jeżeli \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E}xp\left( \frac{1}{\lambda} \right)}\), to funkcja gęstości
rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) ma następującą postać:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\lambda}e^{- \frac{1}{\lambda} x}\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(x)}\),
a zatem \(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \int_{0}^{+\infty }x\frac{1}{\lambda}e^{- \frac{1}{\lambda} x}=\lambda}\)

Akurat to wiedziałam ale chociaż się upewniłam, a tu mam taką informację na temat \(\displaystyle{ X_{1:n}}\)
Ekstremalne statystyki pozycyjne (najmniejsza i największa) to \(\displaystyle{ X_{1:n}=min(X_1,..., X_n)}\);
\(\displaystyle{ X_{n:n}=max(X_1,...,X_n)}\)

[Premislav]

Aha, czyli wychodzi na to, że pomyliłem minimum z maksimum, no faktycznie...
Rozumiem, że skoro to jest próba, to przyjmujemy, że \(\displaystyle{ X_{1},..X_{n}}\) są iid.
Wtedy
\(\displaystyle{ F_{X_{1:n}}(y)=\mathbf{P}(X_{1:n} \le y)=1-\mathbf{P}(X_{1:n}>y)=\\=1-\mathbf{P}(X_{1}>y, X_{2}>y...X_{n}>y)=\\=1-\mathbf{P}(X_{1}>y)\cdot...\cdot \mathbf{P}(X_{n}>y)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } y \le 0 \\ 1-e^{-n \frac{y}{\lambda} } \text{w przeciwnym razie }\end{cases}}\)
bo \(\displaystyle{ X_{1},...X_{n}}\) są niezależne i mają ten sam rozkład.
Skoro mamy dystrybuantę \(\displaystyle{ X_{1:n}}\), to wystarczy zróżniczkować i otrzymujemy gęstość, a dalej liczymy \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_{1:n}}\) z tego samego wzorku. No i elegancko wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\lambda}{n}}\), całkujemy przez części.