prawdopodobieństwo z ciągu

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
princess691
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 2 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: princess691 »

W urnie jest \(\displaystyle{ n}\) kartek ponumerowanych liczbami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\). Wyciągamy z urny bez zwracania \(\displaystyle{ k}\) kartek. Niech \(\displaystyle{ a_i}\) numer \(\displaystyle{ i}\)-tej wyciągnietej kartki. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w ciągu \(\displaystyle{ \left( 0,a_1, \ldots, a_k, 0\right)}\) jest dokładnie jedno maksimum lokalne? (Wyraz ciągu jest maksimum lokalnym, jeśli jest liczbą większą od obu sąsiednich wyrazów)
alla2012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: alla2012 »

mam taki sam problem
Hubbaser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 10 kwie 2016, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: Hubbaser »

Sumuj po miejscu wystąpienia maksimum - oznaczmy go i.
Najpierw wybierasz i liczb z n i sortujesz rosnąco.
Następnie k-i i sortujesz malejąco.

W ten sposób liczymy każdy układ dwa razy (maksimum w lewej lub w prawej części), więc wynik dzielimy na dwa.

Dodajemy 1, bo podzieliliśmy na 2 przypadki i=0 oraz i=k, a ich dwa razy nie liczymy

Suma powinna być do obliczenia.
alla2012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: alla2012 »

do końca tego nie widzę, jednak coś mi zaczyna w głowie się układać

można prosić o więcej szczegółów? wiem, że proszę o dużo
princess691
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 2 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: princess691 »

czy to nie powinno być coś takiego:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k} {n \choose i} {n-i \choose k-i}}\)
Hubbaser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 10 kwie 2016, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: Hubbaser »

Prawie tak. Musisz uwzględnić jeszcze, że 1,3,2 powstanie z dwóch różnych wyborów zbiorów: {1,3}{2} oraz {1}{2,3}. Dlatego pisałem o dzieleniu na dwa. Odwołuję jednak dodawanie jedynki, bo jednak wszystko da się przedstawić na dwa sposoby
princess691
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 2 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: princess691 »

Hubbaser pisze:Prawie tak. Musisz uwzględnić jeszcze, że 1,3,2 powstanie z dwóch różnych wyborów zbiorów: {1,3}{2} oraz {1}{2,3}. Dlatego pisałem o dzieleniu na dwa. Odwołuję jednak dodawanie jedynki, bo jednak wszystko da się przedstawić na dwa sposoby
Ok, czyli moc zbioru A (istnieje dokładnie jedno maksimum lokalne) to \(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=0}^{k} {n \choose i} {n-i \choose k-i}
}{2}}\)
.

Jakieś wskazówki jak to zsumować?
Szukałam już jakichś tożsamości trygonometrycznych ale nic nie znalazłam podobnego
Hubbaser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 10 kwie 2016, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: Hubbaser »

Zdaje mi się, że z trygonometrią nie ma to większego związku.

Podaną sumę można wyliczyć z rozpisania symboli newtona, a dalej dwumianu newtona.

Ale takie sumy najłatwiej obliczać z interpretacji kombinatorycznej. Mówi ona również, że od początku dało się zrobić to zadanie prościej, ale nie wpadłem na to Mianowicie zamiast wybierać zbiory tak jak to wcześniej napisałem, można wybrać k liczb z n i porozrzucać je do dwóch zbiorów
princess691
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 2 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: princess691 »

*tożsamości kombinatorycznych
Hubbaser pisze: Mianowicie zamiast wybierać zbiory tak jak to wcześniej napisałem, można wybrać k liczb z n i porozrzucać je do dwóch zbiorów
co znaczy porozrzucać do dwóch zbiorów? Nie bardzo to widzę
Hubbaser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 10 kwie 2016, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: Hubbaser »

Każdemu elementowi mówisz czy ma być w pierwszym czy w drugim zbiorze.

Czyli dla k różnego od 0:

\(\displaystyle{ \left| A\right| = \frac{{n \choose k} 2^{k}}{2}}\)

Dla k=0 wynik zadania to 0, bo ciąg 0,0 ma dwa maksima lokalne
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2016, o 16:39 przez Hubbaser, łącznie zmieniany 2 razy.
princess691
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 14 lis 2013, o 18:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 2 razy

prawdopodobieństwo z ciągu

Post autor: princess691 »

po zsumowaniu wyszło mi \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k} {k \choose i} \cdot {n \choose k} =2^k \cdot {n \choose k}}\)

Dobrze?

Czyli nasze prawdopodobieństwo to: \(\displaystyle{ \frac{2^k \cdot {n \choose k}}{ \frac{2n!}{(n-k)!} }= \frac{2^{k-1}}{k!}}\)-- 11 kwi 2016, o 15:38 --czyli na to samo wychodzi dziękuję baaardzo
ODPOWIEDZ