Rozkład Poisssona zmiennej losowej X

[Maxym92]

Witam,
utknąłem na takim zadaniu i ani rusz. Przeszukuje i wykłady i forum, ale nic mi to nie wyjaśnia.

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona taki, że EX2=6. Oblicz P(X>1).

Znalazłem że \(\displaystyle{ EX=\lambda}\) ale co z \(\displaystyle{ EX^2}\)? Byłbym wdzięczny za pomoc

[liu]

Jak nie masz żadnego mądrego pomysłu, użyj funkcji tworzącej momenty;)

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową z rozkładem Poissona o parametrze \(\displaystyle{ \lambda}\). Funkcja tworząca momenty dla niej to
\(\displaystyle{ M_X(t) = \exp(\lambda(e^t-1))}\)
I do tego \(\displaystyle{ M''_X(0) = \mathbb{E}X^2}\). Policz drugą pochodną, dostaniesz co potrzebujesz.

[janusz47]

Z wariancji i wartości oczekiwanej rozkładu Poissona

\(\displaystyle{ D^{2}(X)= E(X^{2}) -(E(X))^{2}.}\)

\(\displaystyle{ \lambda = 6 - \lambda^{2}.}\)

\(\displaystyle{ \lambda^{2}+ \lambda - 6 = 0.}\)

\(\displaystyle{ \lambda =2.}\)

[Maxym92]

@janusz47

Dzięki wielkie! Mam tylko jeszcze pytanie. Jak potraktować P(X>1)? Znalazłem wzór

\(\displaystyle{ P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \ \ \ k \in \mathbb{N}_0}\)

Doczytałem że Poissona używa się jedynie dla liczb całkowitych i dodatnich. Dla P(X<1) byłoby to po prostu P(X=0)+P(X=1), ale co w drugą stronę? Czy dobrze będzie, jeśli P(X>1) potraktuję jako:

\(\displaystyle{ P(X>1)=1-(P(X=0)+P(X=1))}\)

[janusz47]

Tak jak rozpisałeś

\(\displaystyle{ Pr(X>1)= 1 - Pr(X\leq 1) = 1- (Pr(X=0)+ Pr(X=1)) = 1 - \frac{2^{0}}{0!}e^{-2} -\frac{2^{1}}{1!}e^{-2}.}\)

Oblicz lub odczytaj wartości prawdopodobieństw z tablic rozkładu Poissona albo za pomocą programu komputerowego np. R.

[Maxym92]

@janusz47

Dzięki wielkie. Całość przeliczyłem i wyszło dość sensownie 0.5941.

[janusz47]

Sprawdzenie programem R

> p= 1- 0.135535-0.270671
> p
[1] 0.593794

[Maxym92]

Dziękuję. Bazowałem na wolframie i widzę że przy większej dokładności wynik wygląda nieco inaczej . Ostatecznie poprawiłem na 6 miejsc po przecinku. Jeszcze raz bardzo dziękuję za pomoc. Miałem jeszcze kilka zadań z rozkładem dwumianowym, ale właściwie ten Poisson dał fajną perspektywę jak można na to spojrzeć, także dzięki .