trudne prawdopodobieństwo

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
alla2012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

trudne prawdopodobieństwo

Post autor: alla2012 »

Niech \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Mamy tabelę złożoną z \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\) okienek, tj. jedno okno w pierwszym rzędzie, dwa w drugim itd. \(\displaystyle{ n}\) w \(\displaystyle{ n}\)-tym rzędzie. W okna tabeli wpisujemy liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\) . Niech \(\displaystyle{ m_k}\) największa z liczb w \(\displaystyle{ k}\) rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ m_1 < m_2< \ldots < m_n}\)
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

trudne prawdopodobieństwo

Post autor: Medea 2 »

Bardzo trudne zadanie, ciekawe skąd się wzięło.

\(\displaystyle{ p_2 = \frac{1}{1!} = 1}\),

\(\displaystyle{ p_2 = \frac{2 \cdot 2! }{3!} = \frac{2}{3}}\),

\(\displaystyle{ p_3 = \frac{20 \cdot 2! \cdot 3!}{6!} = \frac{1}{3}}\),

\(\displaystyle{ p_4 = \frac{1680 \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4!}{10!} = \frac{2}{15}}\),

\(\displaystyle{ p_5 = \frac{1681680 \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5!}{15!} = \frac 2 {45}}\).

Dalej nie mam siły liczyć, ale przecież jestem czarnoksiężniczką i posiadam księgę z zaklęciami

\(\displaystyle{ p_n = \frac{\prod_{k=1}^{n-1} (k+1)! \cdot {\frac k 2 (k+3) \choose k}}{\left( \frac {n(n+1)}{2} \right)!} = \frac{a_n}{b_n}}\),

gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) to najwyższa potęga dwójki dzieląca \(\displaystyle{ C_n}\), \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę Catalana, zaś \(\displaystyle{ b_n}\) to największy nieparzysty dzielnik \(\displaystyle{ (n+1)!}\) (prawie zawsze, jeszcze nie wiem, jakiej regule podlegają wyjątki - chyba dla \(\displaystyle{ n}\) postaci \(\displaystyle{ 2^k-1}\) i naturalnego \(\displaystyle{ k}\)).
alla2012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

trudne prawdopodobieństwo

Post autor: alla2012 »

Nie rozumiem co oznacza \(\displaystyle{ {\frac k 2 (k+3) \choose k}}\) w tym wzorze. Reszta ok ☺
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

trudne prawdopodobieństwo

Post autor: dec1 »

To symbol Newtona.
alla2012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 42 razy

trudne prawdopodobieństwo

Post autor: alla2012 »

wiem, że to symbol Newtona
Nie wiem tylko o czym nam w tej sytuacji mówi
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

trudne prawdopodobieństwo

Post autor: Premislav »

Jak dojść do takiego wyniku?
ODPOWIEDZ