trudne prawdopodobieństwo
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 42 razy
trudne prawdopodobieństwo
Niech \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Mamy tabelę złożoną z \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\) okienek, tj. jedno okno w pierwszym rzędzie, dwa w drugim itd. \(\displaystyle{ n}\) w \(\displaystyle{ n}\)-tym rzędzie. W okna tabeli wpisujemy liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\) . Niech \(\displaystyle{ m_k}\) największa z liczb w \(\displaystyle{ k}\) rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ m_1 < m_2< \ldots < m_n}\)
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
trudne prawdopodobieństwo
Bardzo trudne zadanie, ciekawe skąd się wzięło.
\(\displaystyle{ p_2 = \frac{1}{1!} = 1}\),
\(\displaystyle{ p_2 = \frac{2 \cdot 2! }{3!} = \frac{2}{3}}\),
\(\displaystyle{ p_3 = \frac{20 \cdot 2! \cdot 3!}{6!} = \frac{1}{3}}\),
\(\displaystyle{ p_4 = \frac{1680 \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4!}{10!} = \frac{2}{15}}\),
\(\displaystyle{ p_5 = \frac{1681680 \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5!}{15!} = \frac 2 {45}}\).
Dalej nie mam siły liczyć, ale przecież jestem czarnoksiężniczką i posiadam księgę z zaklęciami
\(\displaystyle{ p_n = \frac{\prod_{k=1}^{n-1} (k+1)! \cdot {\frac k 2 (k+3) \choose k}}{\left( \frac {n(n+1)}{2} \right)!} = \frac{a_n}{b_n}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) to najwyższa potęga dwójki dzieląca \(\displaystyle{ C_n}\), \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę Catalana, zaś \(\displaystyle{ b_n}\) to największy nieparzysty dzielnik \(\displaystyle{ (n+1)!}\) (prawie zawsze, jeszcze nie wiem, jakiej regule podlegają wyjątki - chyba dla \(\displaystyle{ n}\) postaci \(\displaystyle{ 2^k-1}\) i naturalnego \(\displaystyle{ k}\)).
\(\displaystyle{ p_2 = \frac{1}{1!} = 1}\),
\(\displaystyle{ p_2 = \frac{2 \cdot 2! }{3!} = \frac{2}{3}}\),
\(\displaystyle{ p_3 = \frac{20 \cdot 2! \cdot 3!}{6!} = \frac{1}{3}}\),
\(\displaystyle{ p_4 = \frac{1680 \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4!}{10!} = \frac{2}{15}}\),
\(\displaystyle{ p_5 = \frac{1681680 \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5!}{15!} = \frac 2 {45}}\).
Dalej nie mam siły liczyć, ale przecież jestem czarnoksiężniczką i posiadam księgę z zaklęciami
\(\displaystyle{ p_n = \frac{\prod_{k=1}^{n-1} (k+1)! \cdot {\frac k 2 (k+3) \choose k}}{\left( \frac {n(n+1)}{2} \right)!} = \frac{a_n}{b_n}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) to najwyższa potęga dwójki dzieląca \(\displaystyle{ C_n}\), \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę Catalana, zaś \(\displaystyle{ b_n}\) to największy nieparzysty dzielnik \(\displaystyle{ (n+1)!}\) (prawie zawsze, jeszcze nie wiem, jakiej regule podlegają wyjątki - chyba dla \(\displaystyle{ n}\) postaci \(\displaystyle{ 2^k-1}\) i naturalnego \(\displaystyle{ k}\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 42 razy
trudne prawdopodobieństwo
Nie rozumiem co oznacza \(\displaystyle{ {\frac k 2 (k+3) \choose k}}\) w tym wzorze. Reszta ok ☺