Niezależność pewnych zmiennych losowych.

[sierpienny]

Cześć.

Wiemy, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.
Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ e^{sX}}\) i \(\displaystyle{ e^{sY}}\), gdzie \(\displaystyle{ s}\) jest pewną liczbą rzeczywistą, są niezależne? Z czego to wynika?

[Premislav]

Tak. Jeżeli \(\displaystyle{ X_{1},..X_{n}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, a \(\displaystyle{ \varphi_{1},...\varphi_{n}}\) - funkcjami borelowskimi (niekoniecznie różnymi), to niezależne są również zmienne losowe
\(\displaystyle{ Y_{1},...Y_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ Y_{i}=\varphi_{i}(X_{i}), 1 \le i \le n}\)

Dowód tego faktu powinien być w każdym podręczniku rachunku prawdopodobieństwa.