Zbieżność ciągów zmiennych losowych - wg. miary

[mrCoorazy]

Witam,

Proszę o wyjaśnienie na czym polega zbieżność ciągów zmiennych losowych. Interesuje mnie zbieżność wg. prawdopodobieństwa.

Definicja zbieżności wg. prawd:

Ciag \(\displaystyle{ X_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ X}\) według prawdopodobienstwa, jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to Inf} P(|X_n - X| > \epsilon) = 0}\)

1) Co mamy na myśli mówiąc ciąg zmiennych losowych? W przypadku ciągu artymetycznego są to wartości np. 1,3,5,7... Mówiąc o zmiennych losowych chodzi o funkcje? Wartości dziedziny funkcji?
2) Jeśli chodzi o funkcje, to jak w przypadku granicy interpretować odejmowanie? Jeśli chodzi o wartości dziedziny funkcji, to jak wykonywać operację odejmowania na zbiorach? Może chodzi o rozkłady? Jeśli tak, to mam takie samo pytanie.
3) W definicji podane jest \(\displaystyle{ X_n}\). Czy chodzi zatem o to, że istnieje gdzieś w tym ciągu takie \(\displaystyle{ n_0}\), od którego każde następne będzie już bliskie \(\displaystyle{ X}\)? Co oznacza ta odleglość \(\displaystyle{ X_n}\) względem \(\displaystyle{ X}\)?

Możliwe, że trochę zagmatwałem, jednak byłbym wdzięczny, jakby znalazł się ktoś, kto będzie skłonny mi to wytłumaczyć.

Pozdrawiam

[bartex42]

W definicji zbieżności zgubił się kwantyfikator: \(\displaystyle{ \forall_{\epsilon>0}}\). Ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_n:\Omega\rightarrow\mathbb{R}}\) jest ciągiem funkcyjnym. Odejmowanie nie jest w przypadku granicy, najpierw odejmujemy, granicę liczymy potem.
Uwaga do notacji. Pisząc \(\displaystyle{ \mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon)}\), tak naprawdę mamy na myśli \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\{\omega\in\Omega:|X_n(\omega)-X(\omega)|>\epsilon\})}\). Czyli przy ustalonych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ \epsilon}\) jest to po prostu (mierzalny) podzbiór \(\displaystyle{ \Omega}\), który mierzymy miarą \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\), dostając liczbę z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\). Zatem jeśli ustalimy \(\displaystyle{ \epsilon}\) i weźmiemy ciąg takich liczb dla każdego \(\displaystyle{ n}\), to ciąg ten ma zbiegać do zera.

W skrócie: sprawdzamy, na jakim zbiorze dwie funkcje różnią się o co najmniej \(\displaystyle{ \epsilon}\) i ten zbiór ma maleć (w sensie miary) do zera.

Zbieżność według prawdopodobieństwa jest szczególnym przypadkiem zbieżności ciągów funkcyjnych względem miary w dowolnych przestrzeniach z miarą.

[mrCoorazy]

Dzięki bartex42! Czy mogłbyś wytłumaczyć mi jak ma się ta zbieżność do prawa wielkich liczb?

Wyrażenie występujące w granicy w PWL:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\{\omega\in\Omega:|\bar{X}_n(\omega)-\mathbb{E}[X(\omega)]>\epsilon]\})}\)

W wyrażeniu występuje średnia z próby losowej. Rozumiem zatem, że ciąg zmiennych losowych jest następujący: \(\displaystyle{ X_1, \frac{X_1 + X_2}{2}, \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}, ...}\)
Czy to prawda?

Mam problem ze zrozumieniem tej wartości oczekiwanej. W wyrażeniu jest zmienna losowa, natomiast tutaj mowa o wartości oczekiwanej, która jest liczbą. Co więcej nie wiem jak liczyć i czy jest sens liczyć wartość oczekiwaną dla konkretnego \(\displaystyle{ \omega.}\)

Z góry dziękuję!

[bartex42]

Jak rozumiem, \(\displaystyle{ X_n}\) jest ciągiem zmiennych losowych. Nie wiem natomiast, co to jest \(\displaystyle{ X}\).
Dla mnie słabe prawo wielkich liczb wygląda tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(\{\omega\in\Omega:|\bar{X}_n(\omega)-\mathbb{E}\bar{X}_n|>\epsilon\})=0}\),
lub po prostu
\(\displaystyle{ \bar{X}_n-\mathbb{E}\bar{X}_n\xrightarrow{\mathbb{P}}0}\),
gdzie \(\displaystyle{ \bar{X}_n}\) to średnia arytmeryczna \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\), jak napisałeś. Ponieważ wartość oczekiwana to całka z funkcji, jaką jest zmienna losowa, to rzeczywiście nie ma ona sensu przy ustalonej \(\displaystyle{ \omega}\). Dlatego nie napisałem jej tam, to jest po prostu liczba (przy ustalonym n). Można tam napisać \(\displaystyle{ (\mathbb{E}X)(\omega)}\), ale to tak jak pisać \(\displaystyle{ 4(x)}\) przy funkcji stałej równej 4.
Teraz trzeba zauważyć, że jeśli dla każdego \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ X_n}\) jest zmienną losową (czyli funkcją mierzalną), to \(\displaystyle{ \bar{X}_n}\) też nią jest oraz \(\displaystyle{ \bar{X}_n-c}\) też dla jakiejkolwiek stałej c, w szczególności dla \(\displaystyle{ \mathbb{E}\bar{X}_n}\).
A skoro \(\displaystyle{ \bar{X}_n-\mathbb{E}\bar{X}_n}\) jest zmienną losową na \(\displaystyle{ \Omega}\), to może zbiegać względem miary (według prawdopodobieństwa) do innej zmiennej losowej, np. do zmiennej stale równej 0 (wszak to też mierzalna funkcja, tylko stała).

Zaś intuicyjny sens jest taki, jak pisałem wcześniej ogólniej:
Zbiór, na którym średnia arytmetyczna zmiennych różni się od swojej wartości oczekiwanej o co najmniej epsilon, ma maleć (w sensie miary) do zera, niezależnie od epsilona.

Zwróć też uwagę, że jeśli zmienne mają jednakowe rozkłady, to wartość oczekiwana średniej arytmetycznej jest po prostu wartością oczekiwaną tego rozkładu, czyli nie zależy od \(\displaystyle{ n}\), zatem można ją przenieść na drugą stronę strzałki i pisać
\(\displaystyle{ \bar{X}_n\xrightarrow{\mathbb{P}}\mathbb{E}X_1}\).