Jas i Małgosia - rzut monetami

[alfred0]

Jaś i Małgosia rzucają monetami. Jaś rzuca n monetami, a Małgosia 2n monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo że Małgosia wyrzuci więcej reszek od Jasia?

[Gouranga]

Jaś może wyrzucić od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\) reszek na \(\displaystyle{ n+1}\) sposobów
analogicznie Małgosia od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2n}\) na \(\displaystyle{ 2n+1}\) sposobów, stąd:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = (n+1)(2n+1) = 2n^2 + 3n + 1}\)

dla każdego z \(\displaystyle{ n+1}\) sposobów Jasia trzeba dopasować ilość możliwości Małgosi
Jaś 0 reszek - Małgosia \(\displaystyle{ 2n}\) możliwości (bo nie może też mieć 0)
Jaś 1 reszka - Małgosia \(\displaystyle{ 2n-1}\)
...
Jaś \(\displaystyle{ n}\) reszek - Małgosia \(\displaystyle{ n}\) możliwości
stąd:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = \sum_{i=0}^n (2n-i) = \frac{3}{2}n(n+1)}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{\frac{3}{2}n(n+1)}{2n^2 +3n + 1} = \frac{3n(n+1)}{2\left(2n^2 +3n + 1\right)}}\)