Z urny zawierającej dziesięć kul ...

[kmmc]

Z urny zawierającej dziesięć kul ponumerowanych od 1 do 10 losujemy kolejno cztery kule. Czy prawdopodobieństwo zdarzenia że największą wylosowaną liczbą będzie 5 jest większe w losowaniu ze zwracaniem czy bez zwracania?

To rozwiązanie:
Losowanie ze zwracaniem:
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| =10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=10000}\)
Wylosujemy piatke i trzy pozostale cyfry z pieciu liczb
\(\displaystyle{ \left| A\right| =1 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5=125}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{125}{10000}= \frac{1}{80}}\)
Losowanie bez zwracania:
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| =10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7=5040}\)
Wylosujemy piatke i trzy z czterech pozostalych liczb \(\displaystyle{ <5}\)
|\(\displaystyle{ B|=1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2=24}\)
\(\displaystyle{ P(B)=24/5040= \frac{1}{210}}\)
\(\displaystyle{ P(A)>P(B)}\)


Pytanie jest takie: czemu "Wylosujemy piatke i trzy pozostale cyfry z pieciu liczb"? Piątkę to rozumiem, ale ma ta piątka być największą liczbą, czyli pozostały \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4}\), czyli IMO powinno być:

\(\displaystyle{ \left| A\right|=1 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}\)

[bartex42]

Ale losowanie jest ze zwracaniem, więc 5 nadal jest dostępna. A jak wylosuje się same piątki, to dalej 5 jest największą wylosowaną liczbą.

[kinia7]

\(\displaystyle{ \left| A\right| =1 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5=125}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{125}{10000}= \frac{1}{80}}\)

\(\displaystyle{ \left| A\right| = {4 \choose 1} \cdot 4^3+ {4 \choose 2} \cdot4^2+ {4 \choose 3}\cdot4+ {4 \choose 4} =369}\)-- 6 kwi 2016, o 21:49 --gdyby liczyć ilość przypadków, w których największą liczbą byłoby 10, to zacytowanym sposobem byłoby ich:
\(\displaystyle{ 1\cdot10\cdot10\cdot10=1000}\)

ilość przypadków, w których ani razu nie wystąpi liczba 10 - \(\displaystyle{ 9\cdot9\cdot9\cdot9=6561}\)
więc liczba przypadków z co najmniej jedną 10 - \(\displaystyle{ 10^4-6561=3439}\)