Wyznaczyć/obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o rozkładzie:
a) geometrycznym
b) Bernoulliego
c) Poissona
d) normalnym N(m, σ^2)
e) wykładniczym
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
-
rafcio666
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 2 kwie 2016, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Konkretnie to z rozkładem Poissona i wykładniczym. Z resztą już sobie poradziłem.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
c) rozkład Poissona jest dyskretny, skupiony na zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\) (czy jak kto woli, \(\displaystyle{ \NN \cup\left\{ 0\right\}}\), bo niektórzy nie uznają zera za naturalne). Jeżeli \(\displaystyle{ k \in \NN}\) oraz \(\displaystyle{ X\sim Poi(\lambda)}\) , gdzie \(\displaystyle{ \lambda>0}\), to \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!}}\). Zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{ \infty } k \frac{\lambda^{k}}{k!}= e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{ \infty } k \frac{\lambda^{k}}{k!}}\)
Skróć \(\displaystyle{ k}\) pod sumą, wyłącz przed sumę jedno \(\displaystyle{ \lambda}\) i zmień indeksy, a następnie skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{x^{k}}{k!}= e^{x}}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^{2}]=\sum_{k=1}^{ \infty } k^{2} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}}\)
i teraz wystarczy podobnie kombinować oraz skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ D^{2}X=\mathbf{E}[X^{2}]-(\mathbf{E}X)^{2}}\)
e) niech \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E}xp(\lambda)}\). zarówno \(\displaystyle{ \mathbf{E}X}\), jak i \(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^{2}]}\) możesz wyliczyć, całkując przez części. Potem stosujesz ten sam wzór na wariancję, co poprzednio.
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \int_{0}^{ \infty }x \cdot \lambda e^{-\lambda x}\mbox{d}x}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^2]= \int_{0}^{ \infty }x^{2} \cdot \lambda e^{-\lambda x}\mbox{d}x}\)
Alternatywnie można w obu przykładach wyznaczyć funkcje tworzące momenty, a potem zróżniczkować odpowiednią liczbę razy i podstawić \(\displaystyle{ t=0.}\)
Funkcjami charakterystycznymi też wychodzi, ale to już co kto woli.
-- 3 kwi 2016, o 16:40 --
Aha, i całkując przez części, korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ \lambda e^{-\lambda x}=(-e^{-\lambda x})'}\). Zabijasz potęgi iksa.-- 3 kwi 2016, o 16:52 --W razie dalszych problemów w c) zauważ, że \(\displaystyle{ x^{2}=x(x-1)+x}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{ \infty } k \frac{\lambda^{k}}{k!}= e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{ \infty } k \frac{\lambda^{k}}{k!}}\)
Skróć \(\displaystyle{ k}\) pod sumą, wyłącz przed sumę jedno \(\displaystyle{ \lambda}\) i zmień indeksy, a następnie skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{x^{k}}{k!}= e^{x}}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^{2}]=\sum_{k=1}^{ \infty } k^{2} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}}\)
i teraz wystarczy podobnie kombinować oraz skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ D^{2}X=\mathbf{E}[X^{2}]-(\mathbf{E}X)^{2}}\)
e) niech \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{E}xp(\lambda)}\). zarówno \(\displaystyle{ \mathbf{E}X}\), jak i \(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^{2}]}\) możesz wyliczyć, całkując przez części. Potem stosujesz ten sam wzór na wariancję, co poprzednio.
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \int_{0}^{ \infty }x \cdot \lambda e^{-\lambda x}\mbox{d}x}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X^2]= \int_{0}^{ \infty }x^{2} \cdot \lambda e^{-\lambda x}\mbox{d}x}\)
Alternatywnie można w obu przykładach wyznaczyć funkcje tworzące momenty, a potem zróżniczkować odpowiednią liczbę razy i podstawić \(\displaystyle{ t=0.}\)
Funkcjami charakterystycznymi też wychodzi, ale to już co kto woli.
-- 3 kwi 2016, o 16:40 --
Aha, i całkując przez części, korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ \lambda e^{-\lambda x}=(-e^{-\lambda x})'}\). Zabijasz potęgi iksa.-- 3 kwi 2016, o 16:52 --W razie dalszych problemów w c) zauważ, że \(\displaystyle{ x^{2}=x(x-1)+x}\)