Wyznacz prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul

[Maxym92]

Witam, mam problem z zadaniem. Wydaje mi się dość proste, ale jednak nieco się boję, bo znalazłem przykładowe rozwiązanie na kilku forach i wszędzie wygląda to zupełnie inaczej, a po drugie wydaje mi się że moje obliczenia się za proste .

Treść zadania:
Mamy 3 urny U1, U2, U3. Urna U1 zawiera 4 kule czerwone i 3 zielone. W urnach U2, U3 znajdują się odpowiednio 4 kule białe, 6 czarnych oraz 6 białych i 2 czarne. Z urny U1 losujemy dwie kule. Jeżeli obie kule są czerwone, to losujemy jedną kulę z urny U2, w przeciwnym przypadku losujemy jedną kulę z urny U3. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul czerwonych z urny U1, jeśli wiadomo, ze wylosowano kule czarną z którejś z pozostałych urn.

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{{4 \choose 2} }{{7 \choose 2} }*\frac{{6 \choose 1} }{{10 \choose 1} }= \frac{6}{35}}\)

Uzasadnienie:
Liczę prawdopodobieństwo zdarzenia, gdzie: z urny U1 wylosowano 2 kule czerwone spośród 4 kul czerwonych oraz ogółu 7 kul dostępnych w urnie U1, a następnie mnożę przez prawdopodobieństwo wylosowania 1 kuli czarnej spośród 6 czarnych oraz ogółu 10 kul dostępnych w urnie U2. Zdecydowałem się pominąć urnę 3, ponieważ zgodnie z treścią zadania interesuje mnie tylko ten jeden wariant zdarzeń.

[piasek101]

Twoje mi się nie podoba - bo czarną z 3 też można wylosować.

Zadanie wygląda na Bayesa - ,,na odwrócenie" - ale poczekaj na opinie innych.

[Maxym92]

piasek101,

Ok, właściwie masz rację, bo podstawowe prawdopodobieństwo miałem już jakiś czas temu, a wzór Bayesa to dość świeży dla mnie temat. Można się domyślić że pewnie chodzi o zastosowanie wykładu w praktyce . Przygotowałem zgodnie ze wzorem Bayesa, ale utknąłem przy prawdopodobieństwie warunkowym.

\(\displaystyle{ A}\) - wylosowanie kuli czarnej
\(\displaystyle{ B _{} 1}\) - z urny I wylosowane 2 kule czerwone
\(\displaystyle{ B _{} 2}\) - z urny I nie wylosowane 2 kule czerwone

\(\displaystyle{ P(B _{} 1|A) = \frac{P(A|B _{} 1)*P(B _{} 1)}{P(A|B _{} 1)*P(B _{} 1)+P(A|B _{} 2)*P(B _{} 2)}}\)

\(\displaystyle{ P(B _{} 1 = \frac{ {4 \choose 2} }{ {7 \choose 2} }= \frac{6}{21}}\)
\(\displaystyle{ P(B _{} 2 = \frac{ {3 \choose 2} + {4 \choose 1}*{3 \choose 1} }{ {7 \choose 2} }= \frac{15}{21}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= 1}\) - ponieważ w treści zadania podane jest że czarna została wylosowana, więc biorę to za pewniaka

Za cholerę nie wiem jak wyznaczyć te dwa:
\(\displaystyle{ P(A|B _{} 1)}\)
\(\displaystyle{ P(A|B _{} 2)}\)

[NogaWeza]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \mathbf{P} (A | B_1) \mathbf{P} (B_1) + \mathbf{P} (A | B_2) \mathbf{P} (B_2)=\mathbf{P} (A)}\) - to po prostu prawdopodobieństwo całkowite. Narysuj sobie drzewko jeśli tego nie widzisz.

[Maxym92]

NogaWeza,
Jak najbardziej rozumiem, ale martwię się, bo wtedy wynik wychodzi dość dziwny.

\(\displaystyle{ P(A|B _{1}) = X}\) traktuję jako niewiadomą, bo nie da się, bądź ja nie potrafię tego wyliczyć
\(\displaystyle{ P(B _{} 1|A) = \frac{P(A|B _{1} )*P(B _{1} )}{P(A|B _{1})*P(B _{1})+P(A|B _{2})*P(B _{2})}}\)

\(\displaystyle{ P(B _{1}|A)= \frac{X* \frac{6}{21} }{1}}\)

Utknąłem w tym miejscu. Nie wiem czy ja czegoś nie widzę czy już po prostu za długo nad tym siedzę.

[NogaWeza]

Jeśli \(\displaystyle{ A - \mbox{wylosowano czarną}}\) to z pewnością \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A) \neq 1}\). To, że wylosowano czarną, nie znaczy, że prawdopodobieństwo wylosowania czarnej jest równe jedności, źle to rozumiesz.