Rozkład min i max zmiennych losowych.

[Emiel Regis]

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na [0,3]. Znaleźć rozkłady zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y=min(X,X^2)}\) i \(\displaystyle{ Z=max(2,X)}\). Czy są to rozkłady ciągłe?

[jovante]

\(\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y\leqslant y)=P(min(X,X^2) qslant y)=P(X qslant y X^2 qslant y)= \\ P(X qslant y X qslant \sqrt{y})}\)

czyli \(\displaystyle{ F_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}0&yqslant y qslant y qslant 3 \end{array}}\)



\(\displaystyle{ F_Z(z)=P(Z\leqslant z)=P(max(2,X) qslant z)=P(2 qslant z X qslant z)}\)


czyli \(\displaystyle{ F_Z(z)=\left\{\begin{array}{ll}0&zqslant z qslant 3 \end{array}}\)

Rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) jest ciągły, zaś zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) nie (\(\displaystyle{ P(Z=2)=\frac{2}{3}}\)).

[LiTE]

Mam podobne zadanie. Dana jest zmienna losowa X o rozkładzie ciągłym [0,3]. Znajdź rozkłady zmiennych losowych
\(\displaystyle{ Y = min(X_{1},X_{2},...,X_{n})}\)
\(\displaystyle{ Z = max(X_{1},X{2},...,X_{n})}\)

Wzorując się na rozwiązaniu z forum odpowiedzią będzie...

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = P(Y \le y) = P(min(X_{1},X_{2},...,X_{n}) \le y) = P(X \le y \vee X_{1} \le y) = P(X \le y \vee X_{1} \le \sqrt{y})}\)

\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = P(Z \le z) = P(min(X_{1},X_{2},...,X_{n}) \le z) = P(X \le z \wedge X_{n} \le z) = \\ P(X \le z \wedge X_{n} \le z)}\)

Ale jaki do tego wniosek?