kwadratowy stół i 9 kul

g506124 · Post autor: **g506124** » 29 mar 2016, o 12:15

1. Przy kwadratowym stole posadzono cztery pary małżeńskie w ten sposób, że przy każdym boku stołu siedzą dwie osoby. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kobiety i mężczyźni siedzą na przemian przy czym żadna para nie siedzi ani obok siebie ( na tym samym boku lub na sąsiednim), ani dokładnie na przeciw siebie.

2. 9 kul (3 białe, 3 czarne i 3 czerwone) ustawimy losowo w ciąg. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żadne dwie kule tego samego koloru nie będą stały obok siebie. Kule tego samego koloru traktujemy jako nierozróżnialne.

próbowałam wybrań najpierw po jednej kulce z każdego a potem dobierać ale za mało

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 29 mar 2016, o 20:07

1. Załóżmy, że mężczyzna $\displaystyle{ M_1}$ usiadł przy zachodniej połowie południowej krawędzi stołu. Gdzie powinna usiąść jego żona $\displaystyle{ K_1}$?

$\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){30}}
\put(0,0){\line(0,1){30}}
\put(0,30){\line(1,0){30}}
\put(30,0){\line(0,1){30}}
\put(-9,4){$?$}
\put(-9,19){$?$}
\put(5,32){$?$}
\put(19,32){$?$}
\put(32,19){$?$}
\put(32,4){$?$}
\put(19,-10){$?$}
\put(3,-10){$M_1$}
\end{picture}}$

nvc23 · Post autor: **nvc23** » 30 mar 2016, o 12:00

2. Może się mylę, ale:
- na ile sposobów możemy przyporządkować kolor dla pierwszej kuli w szeregu?
- na ile sposobów można przyporządkować kolor dla każdej następnej?
- ile kolorów do wyboru zostaje dla ostatniej pozycji w szeregu kul?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 30 mar 2016, o 23:15

nvc23 pisze:- na ile sposobów można przyporządkować kolor dla każdej następnej?

Jeden, dwa albo zero, w zależności od wcześniejszych wyborów.

nvc23 · Post autor: **nvc23** » 30 mar 2016, o 23:24

No tak, ale przy założeniu, że wybieramy kolory tak, aby nie było dwóch jednakowych obok siebie.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 30 mar 2016, o 23:42

Tak, przy tym założeniu.

nvc23 · Post autor: **nvc23** » 31 mar 2016, o 01:32

Rzeczywiście ta propozycja jest błędna. Może w takim razie zająć się zdarzeniem przeciwnym? Wybierzmy sobie jeden kolor, następnie policzmy, ile jest ustawień, w którym trójka tego koloru będzie występować razem. Później weźmy dwójkę tego samego koloru i osobno trzecią kulę, licząc, ile jest możliwości rozstawienia z przerwą między parą a trzecią kulą. Pozostałe kule nie powinny nas zbytnio obchodzić.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 31 mar 2016, o 23:05

nvc23 pisze:Wybierzmy sobie jeden kolor, następnie policzmy, ile jest ustawień, w którym trójka tego koloru będzie występować razem.

$\displaystyle{ 7\cdot\binom63.}$

nvc23 pisze:Później weźmy dwójkę tego samego koloru i osobno trzecią kulę, licząc, ile jest możliwości rozstawienia z przerwą między parą a trzecią kulą.

$\displaystyle{ 7\cdot6\cdot\binom63.}$ Czy w następnej kolejności mamy liczyć, ile jest możliwości: "trójka czerwonych kul razem i trójka białych kul razem"?

Zadanie było już rozwiązywane na forum (382514.htm) takim sposobem: kolor pierwszej kuli wybieramy na $\displaystyle{ 3}$ sposoby, kolor drugiej na $\displaystyle{ 2}$ sposoby i kolory pozostałych kul na $\displaystyle{ 29}$ sposobów (co stwierdzamy wypisując wszystkie możliwości). Zamiast wypisywać wszystkich możliwości, można narysować coś takiego jak poniżej, ale kto się domyśli, o co w tym chodzi?

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
%level 0
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(0,0){\vector(0,-1){40}}
\put(-9,-25){$\red 3$}
\put(2,-25){$\scriptstyle A$}
%level 1
\put(0,-40){\circle*{3}}
\put(0,-40){$\scriptstyle A$}
\put(0,-40){\vector(0,-1){40}}
\put(-9,-65){$\red 2$}
\put(2,-65){$\scriptstyle B$}
%level 2
\put(0,-80){\circle*{3}}
\put(0,-80){$\scriptstyle AB$}
\put(0,-80){\vector(-1,-1){40}}
\put(-22,-109){$\scriptstyle A$}
\put(0,-80){\vector(1,-1){40}}
\put(14,-109){$\scriptstyle C$}
%level 3
\put(-40,-120){\circle*{3}}
\put(-40,-120){$\scriptstyle A^2B$}
\put(-40,-120){\vector(0,-1){40}}
\put(-49,-145){$\scriptstyle B$}
\put(-40,-120){\vector(1,-1){40}}
\put(-26,-149){$\scriptstyle C$}
\put(40,-120){\circle*{3}}
\put(40,-120){$\scriptstyle ABC$}
\put(40,-120){\vector(0,-1){40}}
\put(32,-144){$\red 2$}
\put(41,-144){$\scriptstyle A$}
%level 4
\put(-40,-160){\circle*{3}}
\put(-40,-160){$\scriptstyle A^2B^2$}
\put(-40,-160){\vector(0,-1){40}}
\put(-49,-185){$\scriptstyle C$}
\put(0,-160){\circle*{3}}
\put(0,-160){$\scriptstyle A^2BC$}
\put(0,-160){\vector(0,-1){40}}
\put(-9,-185){$\scriptstyle A$}
\put(0,-160){\vector(1,-1){40}}
\put(14,-189){$\scriptstyle B$}
\put(40,-160){\circle*{3}}
\put(40,-160){$\scriptstyle A^2BC$}
\put(40,-160){\vector(0,-1){40}}
\put(32,-183){$\red 2$}
\put(41,-183){$\scriptstyle B$}
%level 5
\put(-40,-200){\circle*{3}}
\put(-40,-200){$\scriptstyle A^2B^2C$}
\put(-40,-200){\vector(0,-1){40}}
\put(-48,-223){$\red 2$}
\put(-39,-223){$\scriptstyle A$}
\put(0,-200){\circle*{3}}
\put(0,-200){$\scriptstyle A^3BC$}
\put(0,-200){\vector(0,-1){40}}
\put(-7,-212){$\red 2$}
\put(1,-212){$\scriptstyle B$}
\put(40,-200){\circle*{3}}
\put(40,-200){$\scriptstyle A^2B^2C$}
\put(40,-200){\vector(-2,-1){80}}
\put(23,-216){$\scriptstyle A$}
\put(40,-200){\vector(0,-1){40}}
\put(41,-223){$\scriptstyle C$}
%level 6
\put(-40,-240){\circle*{3}}
\put(-40,-240){$\scriptstyle A^3B^2C$}
\put(-40,-240){\vector(0,-1){40}}
\put(-48,-263){$\scriptstyle C$}
\put(0,-240){\circle*{3}}
\put(0,-240){$\scriptstyle A^3B^2C$}
\put(0,-240){\vector(0,-1){40}}
\put(-8,-263){$\scriptstyle C$}
\put(40,-240){\circle*{3}}
\put(40,-240){$\scriptstyle A^2B^2C^2$}
\put(40,-240){\vector(0,-1){40}}
\put(32,-263){$\red 2$}
\put(41,-263){$\scriptstyle A$}
%level 7
\put(-40,-280){\circle*{3}}
\put(-40,-280){$\scriptstyle A^3B^2C^2$}
\put(-40,-280){\vector(0,-1){40}}
\put(-48,-303){$\scriptstyle B$}
\put(0,-280){\circle*{3}}
\put(0,-280){$\scriptstyle A^3B^2C^2$}
\put(0,-280){\vector(0,-1){40}}
\put(-8,-303){$\scriptstyle B$}
\put(40,-280){\circle*{3}}
\put(40,-280){$\scriptstyle A^3B^2C^2$}
\put(40,-280){\vector(0,-1){40}}
\put(32,-303){$\red 2$}
\put(41,-303){$\scriptstyle B$}
%level 8
\put(-40,-320){\circle*{3}}
\put(-40,-320){$\scriptstyle A^3B^3C^2$}
\put(-40,-320){\vector(0,-1){40}}
\put(-48,-343){$\scriptstyle C$}
\put(0,-320){\circle*{3}}
\put(0,-320){$\scriptstyle A^3B^3C^2$}
\put(0,-320){\vector(0,-1){40}}
\put(-8,-343){$\scriptstyle C$}
\put(40,-320){\circle*{3}}
\put(40,-320){$\scriptstyle A^3B^3C^2$}
\put(40,-320){\vector(0,-1){40}}
\put(32,-343){$\scriptstyle C$}
%level 9
\put(-40,-360){\circle*{3}}
\put(-40,-360){$\scriptstyle A^3B^3C^3$}
\put(0,-360){\circle*{3}}
\put(0,-360){$\scriptstyle A^3B^3C^3$}
\put(40,-360){\circle*{3}}
\put(40,-360){$\scriptstyle A^3B^3C^3$}
\end{picture}}\)