prawdopodobieństwo wylosowania 12 owoców

roseanne · Post autor: **roseanne** » 28 mar 2016, o 21:16

owocowe prawdopodobieństwo

Postprzez roseanne » 5 min. temu
Na wyspie znajduje się magiczne drzewo, na którym rosną banany (20% owoców na drzewie), mango (35%), kokosy(30%) i jabłka(15%). Kiedy potrząśniemy drzewem spada 12 owoców.
a) jakie jest prawdopodobieństwo, że spadną 3 banany, 2 mango, 4 kokosy i 3 jabłka?
b) jakie jest prawdopodobieństwo spadnięcia więcej niż 5 owoców mango?
c) jeśli raz na 200 owoców spada magiczna pomarańcza, jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród 500 owoców będzie 5 pomarańczy?

Hej! Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc. Wynik a) to 0,00743, ale nijak mi to nie wychodzi, i nie wiem czemu.
Liczyłam to tak:

\(\displaystyle{ {20 \choose 3} {35 \choose 2} {30 \choose 4} {15 \choose 3} : {100 \choose 12}}\)

Co jest nie tak?

Z góry dziękuję za jakąkolwiek poradę

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 28 mar 2016, o 21:31

Błędnie zakładasz, że na drzewie jest tylko \(\displaystyle{ 100}\) owoców. W treści zadania brakuje tej informacji, ale prawdopodobnie zamysłem autora zadania było założenie, że jest bardzo dużo owoców na drzewie.

Natomiast zupełnie nie rozumiem, o co chodzi w punkcie c). Skąd ma spaść magiczna pomarańcza, skoro na drzewie pomarańcze nie rosną?

roseanne · Post autor: **roseanne** » 28 mar 2016, o 21:35

W takim razie jak to policzyć nie zakładając tego?
Nie rośnie, ale jest napisane że po prostu raz na 200 owoców zamiast innego owoca spada pomarańcza. Ot takie magiczne drzewo. To trochę dziwne, dlatego kompletnie nie umiem tego ugryźć

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 28 mar 2016, o 21:59

Przy założeniu, że na drzewie jest bardzo dużo owoców, w każdym z dwunastu rzutów prawdopodobieństwo spadnięcia banana jest równe \(\displaystyle{ \frac{20}{100},}\) mango \(\displaystyle{ \frac{35}{100},}\) itd., a kolejne rzuty są niezależne. Bez założenia o dużej ilości owoców kolejne rzuty nie byłyby niezależne.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 28 mar 2016, o 22:20

a)
\(\displaystyle{ P \left( a \right) = \left( \frac{20}{100} \right) ^3 \left( \frac{35}{100} \right) ^2 \left( \frac{30}{100} \right) ^4 \left( \frac{15}{100} \right) ^3 \cdot \frac{12!}{3!2!4!3!} =0,0074263959}\)

c)
\(\displaystyle{ P \left( c \right) = {500 \choose 5} \left( \frac{1}{200} \right) ^5 \left( \frac{199}{200} \right) ^{495}}\)

Zamiast to liczyć zrób przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.

A b) umiesz?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 28 mar 2016, o 22:31

kerajs pisze:a)
\(\displaystyle{ P \left( a \right) = \left( \frac{20}{100} \right) ^3 \left( \frac{35}{100} \right) ^2 \left( \frac{30}{100} \right) ^4 \left( \frac{15}{100} \right) ^2 \cdot \frac{12!}{3!2!4!3!} =0,0074263959}\)

Świetnie to obliczyłaś roseanne. Możesz jeszcze sprawdzić zgodność z poprzednim sposobem, upewniając się, czy ten wynik jest równy

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{{20n \choose 3} {35n \choose 2} {30n \choose 4} {15n \choose 3}}{{100n \choose 12}}.}\)

Ukryta treść:

kerajs · Post autor: **kerajs** » 28 mar 2016, o 22:54

norwimaj pisze:Oczywiście wiem, kogo zacytowałem, ale tego sposobu "tłumaczenia" zadań nie popieram.

Zwykle się nie wtrącam, ale Ty w dwóch postach nie dałeś żadnej wskazówki jak rozwiązać zadanie.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{{20n \choose 3} {35n \choose 2} {30n \choose 4} {15n \choose 3}}{{100n \choose 12}} \neq \left( \frac{20}{100} \right) ^3 \left( \frac{35}{100} \right) ^2 \left( \frac{30}{100} \right) ^4 \left( \frac{15}{100} \right) ^3 \cdot \frac{12!}{3!2!4!3!}}\)

Jak rozumiem przeszkodziłem w tłumaczeniu. Sorry, więcej Ci się nie wtrącę.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 28 mar 2016, o 23:33

Nie mam nic przeciwko wtrącaniu się. W pierwszym moim poście odpowiedziałem na zadane pytanie, a w drugim dałem wskazówkę, wbrew temu co piszesz. Ty zamiast wskazówki dałeś sam wynik, czego nie popieram, chociaż sam czasem tak robię.

kerajs pisze:\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{{20n \choose 3} {35n \choose 2} {30n \choose 4} {15n \choose 3}}{{100n \choose 12}} \neq \left( \frac{20}{100} \right) ^3 \left( \frac{35}{100} \right) ^2 \left( \frac{30}{100} \right) ^4 \left( \frac{15}{100} \right) ^3 \cdot \frac{12!}{3!2!4!3!}}\)

Co do tego się mylisz. Wyniki są równe, a przedstawione przez roseanne rozwiązanie jest poprawne dla drzewa, na którym jest \(\displaystyle{ 100}\) owoców.

roseanne · Post autor: **roseanne** » 31 mar 2016, o 10:11

W tym przypadku wynik bardzo się przydał, bo pomimo wskazówki sama bym tego nie zrobiła. Dziękuję Wam obu, teraz wszystko jest jasne -- 31 mar 2016, o 10:08 --Jednak nie na tyle jasne, żeby zrobić b dobrze Moge prosić o ostatnią podpowiedź?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 31 mar 2016, o 20:29

roseanne pisze:Jednak nie na tyle jasne, żeby zrobić b dobrze

A jak próbujesz to robić?