Rozkład maksimum zmiennych losowych o r. geometrycznym

[nvc23]

Zadanie pochodzi z książki "Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa" W. Fellera, wyd. 6, r. IX:

Zmienne losowe X1 i X2 są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny \(\displaystyle{ {q^{k}p}}\) dla \(\displaystyle{ k = 0, 1, 2, ...}\). Określmy jako Z większy z X1, X2 (Z = max(X1, X2)). Znaleźć:
a) łączny rozkład (X1, Z)
b) rozkład Z

\(\displaystyle{ b)P(Z=i) = 2P(X_{1}=i)P(X_{2}<i) + P(X_{1}=X_{2}=i) \\
P(Z=i) = 2q^{i}p(q^{0}p + q^{1}p + ... + q^{i-1}p) + q^{2i}p^{2} \\
P(Z=i) = 2q^{i}p^{2}\frac{1-q^{i-1}}{1-q} + q^{2i}p^{2} = 2q^{i}p - 2q^{2i-1}p + q^{2i}p^{2}}\)

W odpowiedziach dostajemy: \(\displaystyle{ 2q^{i}p - q^{2i}p - q^{2i+1}p}\). Co robię nie tak?

[debugging]

Popełniłeś drobny błąd przy obliczaniu sumy wyrazów ciągu geometrycznego - nie powinno być
\(\displaystyle{ \frac{1-q ^{i-1} }{1-q}}\) ale \(\displaystyle{ \frac{1-q ^{i} }{1-q}}\), co po dalszych przekształceniach daje oczekiwaną odpowiedź.

[nvc23]

Dzięki za zdebugowanie mojego posta.