Losowanie ze zwracaniem - urna i kule.

SlawekZPL · Post autor: **SlawekZPL** » 22 mar 2016, o 01:00

Witam,
Właśnie rozwiązuję dane zadanie:
"Z urny zawierającej dziesięć kul ponumerowanych od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 10}\) losujemy kolejno cztery kule. Czy prawdopodobieństwo zdarzenia, że największą wylosowaną liczbą będzie \(\displaystyle{ 5}\), jest większe w losowaniu ze zwracaniem, czy bez zwracania?"

Najpierw obliczyłem moc omegi dla losowania bez zwracania \(\displaystyle{ {10 \choose 4}}\) co dało mi wynik \(\displaystyle{ 210}\). Następnie rozpatrzyłem zdarzenia, gdy wylosowano liczbę \(\displaystyle{ 5}\) oraz trzy inne (z czterech możliwych), będące od niej mniejsze:
\(\displaystyle{ {4 \choose 3}}\)
W takim razie prawdopodobieństwo tego zdarzenia to \(\displaystyle{ \frac{4}{210}}\)
Analogicznie postąpiłem w przypadku ze zwracaniem, używając wzoru na kombinację z powtórzeniami, przy czym uzyskałem prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{20}{715}}\).
Niestety nie posiadam odpowiedzi do tego zadania, więc proszę o przeanalizowanie tego zadania i pomoc, jeśli błędnie je rozwiązałem

Milczek · Post autor: **Milczek** » 22 mar 2016, o 01:11

SlawekZPL pisze:wzoru na kombinację z powtórzeniami

Hmm, jesteś pewien ? Nie zgadzam się z tym zdaniem

SlawekZPL · Post autor: **SlawekZPL** » 22 mar 2016, o 08:21

Właśnie chodzi o to, że nie jestem pewien, dlatego poruszyłem ten temat.
Mógłbyś wyjaśnić?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 mar 2016, o 08:26

Nie ma czegoś takiego jak kombinacja z powtórzeniami. Jest wariacja z powtórzeniami i bez powtórzeń. Mylisz pojęcia.

Różnica między kombinacją a wariacją na przykładzie losowania kul jest mniej więcej taka, że kombinacja określa liczbę możliwości kiedy losujesz kule jednocześnie (tak jakbyś od razu wziął w garść całą czwórkę), a wariacja określa liczbę możliwości kiedy losujesz kule jedna po drugiej.

W Twoim zadaniu jest wyraźnie napisane, z którym z przypadków masz do czynienia.

SlawekZPL · Post autor: **SlawekZPL** » 22 mar 2016, o 08:59

Więc co to za wzór?

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinacja_z_powt%C3%B3rzeniami

.

Jeśli wariacje, to:

1) Bez zwracania
Moc Ω \(\displaystyle{ = 10*9*8*7}\)
Moc zdarzenia \(\displaystyle{ A = 1*4*3*2}\)

2) Ze zwracaniem
Moc Ω \(\displaystyle{ = 10 ^{4}}\)
Moc zdarzenia \(\displaystyle{ B = 1*5*5*5}\)

Teraz jest ok?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 mar 2016, o 09:04

Sugerując się Twoim wiekiem stwierdziłem, że jesteś w szkole średniej - w programie nie ma czegoś takiego jak kombinacja z powtórzeniami.

Tak, teraz obliczenia są poprawne.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 22 mar 2016, o 20:34

Nie zgadzam się, że teraz jest poprawnie. Na wariant bez powtórzeń zostały już zaprezentowane dwa poprawne rozwiązania, ale na wariant z powtórzeniami oba rozwiązania są błędne.

SlawekZPL pisze: Moc zdarzenia \(\displaystyle{ B = 1*5*5*5}\)

Dlaczego tyle?

\(\displaystyle{ B=C_5\setminus C_4,}\) gdzie:

\(\displaystyle{ C_i}\) - wylosowano same liczby mniejsze lub równe \(\displaystyle{ i.}\)

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 mar 2016, o 20:37

norwimaj, dlatego że należy wylosować jedną konkretną kulę z numerem \(\displaystyle{ 5}\), a później dowolną z przedziału numerów \(\displaystyle{ 1-5}\).

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 22 mar 2016, o 20:41

Ale nie jest to jedyna możliwość. Liczby \(\displaystyle{ 5}\) nie musisz wylosować jako pierwszej. Tylko nie pisz zaraz, że można to poprawić mnożąc wynik przez \(\displaystyle{ 4,}\) bo też nie uwierzę.-- 22 mar 2016, o 20:43 --Przepraszam za pomyłkę, teraz zobaczyłem, że w drugim sposobie rozwiązania wariantu bez zwracania też jest ten sam błąd. Ale w tym wypadku można to łatwo poprawić.

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 mar 2016, o 21:11

Racja, zwracam honor.