Pochodna funkcji charakterystycznej

[mwrooo]

Witam, mam funkcję charakterystyczną klasy, powiedzmy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^2}\) pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Jeżeli wezmę drugą pochodną tej funkcji w zerze, dostanę wartość \(\displaystyle{ EX^2}\). Czy potrzebuję założenia, że \(\displaystyle{ EX^2<\infty}\) czy już je mam z postaci funkcji charakterystycznej?

[Yelon]

W ogólności mamy: jeżeli istnieje n-ty moment zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ \mathbb{E}|X|^{n} < \infty}\), to istnieje n-ta pochodna funkcji charakterystycznej oraz jest ona ciągła. Jednak dla momentów parzystych można twierdzenie odwrócić:
Jeżeli istnieje n-ta pochodna funkcji charakterystycznej, taka że \(\displaystyle{ n=2k}\), \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\), to istnieje n-ty moment tej zmiennej losowej.