Zbieżność według rozkładu

[wiwnes691]

Niech \(\displaystyle{ (W_t)_{t \ge 0}}\) proces Wienera. Jak pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{t} } \log \left[ \int_{0}^{t}\exp(W_s) ds \right]}\) zbiega według rozkładu \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\) do zmiennej losowej \(\displaystyle{ W_1^*=sup_{0 \le s \le 1}W_s}\) ?

Mam też wskazówkę:
1) jeśli f nieujemna funkcja ciągła na \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) to \(\displaystyle{ \lim_{p \to \infty } \left[ \int_{0}^{1}f(u)^p du \right]^{ \frac{1}{p} }=sup_{\left[ 0,1\right] }f}\)
2) \(\displaystyle{ (u^{- \frac{1}{2}}W_{tu})_{t \ge 0}}\) proces Wienera

[robertm19]

Wyszedłbym od funkcji charakterystycznej tej zmiennej. Potem z twierdzenie o zbieżności funkcji charakterystycznej.

[wiwnes691]

no tak, jest twierdzenie, które mówi, że ze zbieżności funkcji charakterystycznej wynika słaba zbieżność.
Ale ja nie potrafię z tego skorzystać

[robertm19]

Może niech ktoś bardziej doświadczony się wypowie. Tw o zbieżności funkcji charaktrerystycznych znam dla wersji ciągów indeksowanych liczbami naturalnymi, tutaj mamy t rzeczywiste, nie jestem pewien czy to tak prosto się przenosi.

[wiwnes691]

może ktoś będzie umiał pomóc