Dowód z prawdopodobieństwem

[blade]

Niech \(\displaystyle{ (\Omega, \mathbb{F}, P)}\) - przestrzeń probabilistyczna.
Założenie : \(\displaystyle{ P(A) >0 \Rightarrow \exists B\subset A : 0 < P(B)<P(A)}\)
Teza : \(\displaystyle{ (P(A)>0 \wedge \epsilon >0 ) \Rightarrow \exists B \subset B : 0<P(B)<\epsilon}\)

Dowód :
1) \(\displaystyle{ \epsilon \ge P(A)}\) - oczywiste, bo \(\displaystyle{ P(B)<P(A) \Rightarrow P(B)<\epsilon}\)

2)\(\displaystyle{ P(A) > \epsilon}\)
załóżmy, że \(\displaystyle{ P(A_n) = \epsilon}\), dla \(\displaystyle{ A_n \subset A}\)
\(\displaystyle{ (P(A)>0 \wedge \epsilon >0 ) \Rightarrow \exists_{A_1 \subset A} : 0<P(A_1)<P(A) \Rightarrow \exists_{A_2 \subset A_1 \subset A} : 0<P(A_2)<P(A_1)<P(A) \Rightarrow \dots \Rightarrow \exists_{B\subset A_n \subset A_{n-1} \subset \dots \subset A} : 0<P(B)<P(A_n)=\epsilon<\dots<P(A)}\)

Chodzi mi o to, że skoro \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), to dla pewnego prawdopodobieństwa równego \(\displaystyle{ \epsilon}\) nadal możemy zastosować nasze założenie, zatem istnieje takie zdarzenie \(\displaystyle{ B}\), którego prawdopodobieństwo jest mniejsze od epsilona, nie wiem jednak czy mój zapis jest poprawny.

[leg14]

\(\displaystyle{ 1) \epsilon \ge P(A) - oczywiste, bo P(B)<P(A) \Rightarrow P(B)<\epsilon}\)

Skad to sie wzielo?Zauwaz,ze jesli to byloby poprawne, to wlasnie udowodniles teze.
Tutaj trzeba skorzystac z lematu o ciaglosci miary.

[blade]

To wzięło się z założenia.
Jeśli, epsilon jest większy, bądż równy, \(\displaystyle{ P(A)}\), to istnieje z założenia takie \(\displaystyle{ B\subset A}\), że \(\displaystyle{ P(B)<P(A)}\),a skoro \(\displaystyle{ P(A)\le \epsilon}\) to \(\displaystyle{ P(B) < \epsilon}\)
Zwykła przechodniość, co pominąłem?

[leg14]

Pominales to, ze czegos takiego w zalozeniach nie ma.Jaki sens mialoby zadanie,jesli teza wynikalaby natychmiast z zalozenia?

[blade]

Dla przypadku, kiedy epsilon jest większy bądź równy \(\displaystyle{ P(A)}\) jest oczywisty,
Założenia jakie mamy :

Założenie : \(\displaystyle{ P(A) >0 \Rightarrow \exists B\subset A : 0 < P(B)<P(A)}\)

A skoro wychodzimy z lewej strony, to mamy jeszcze jedno :

\(\displaystyle{ (P(A)>0 \wedge \epsilon >0 )}\)

A to :

1) \(\displaystyle{ \epsilon \ge P(A)}\) - oczywiste, bo \(\displaystyle{ P(B)<P(A) \Rightarrow P(B)<\epsilon}\)

Jest przypadek pierwszy, a nie założenie

[leg14]

Aa rzeczywiscie, slepy jestem.
No ok to w 2. rozumiem, ze indukcyjnie okreslasz ciag \(\displaystyle{ A_n}\)
taki,ze \(\displaystyle{ A_0 = A}\)
oraz \(\displaystyle{ A_{n+1} \subset A_n \wedge \PP(A_{n+1})<\PP(A_n)}\)?

Co pozniej robisz?
W jaki sposob uzywasz zalozenia:

załóżmy, że \(\displaystyle{ P(A_n) = \epsilon}\), dla \(\displaystyle{ A_n \subset A}\)

Nie za bardzo rozumiem tez po co Ci to zalozenia skoro z niego na mocy przypadku 1 natychmiast wynika teza.Czyli de facto zakladasz sobie teze.

[blade]

Nie, nie ciąg, brakowało mi oznaczeń, więc po prostu sobie po indeksowałem, chciałem pokazać, że cały czas możemy znaleźć mniejsze prawdopodobieństwo, a skoro epsilon jest dodatni, to możemy korzystać z założenia, że znajdziemy zdarzenie \(\displaystyle{ B}\), które zawiera się w jakimś \(\displaystyle{ A_n}\), dla którego \(\displaystyle{ P(A_n)=\epsilon>0}\), ale jak pisałem niżej nie umiałem tego inaczej zapisać, mam nadzieje, że rozumiesz co mam na myśli, bo to co piszę może byc trochę zagmatwane .

[leg14]

Nie wiem jak chcesz to zrobic.

chciałem pokazać, że cały czas możemy znaleźć mniejsze prawdopodobieństwo

Mozesz, ale te wsyztskie prawdopodobienstwa moga byc stale wieksze niz epsilon.

to możemy korzystać z założenia, że znajdziemy zdarzenie B, które zawiera się w jakimś \(\displaystyle{ A_n}\), dla którego \(\displaystyle{ P(A_n)=\epsilon>0}\)

Ale wlasnie tutaj kluczem jest to, skad wezmiesz to zdarzenie \(\displaystyle{ A_n}\)

[blade]

No właśnie, myślałem, że skoro epsilon jest silnie większy od zera, to możemy korzystać z założenia i zawsze znajdziemy mniejsze prawdopodobieństwo od epsilona.

Co proponujesz w takim razie?

[leg14]

Tworzysz ciag zbiorow taki jak opisalem 2 posty wyzej:
\(\displaystyle{ A_0 =A}\)
\(\displaystyle{ A_{n+1} \subset A_n}\)
\(\displaystyle{ \PP(A_{n+1}<\PP(A_n)}\)
Zauwaz,ze ciag \(\displaystyle{ (\PP(A_n))}\) jest ciagiem monotonicznym i ograniczonym,zatem jest zbiezny.
Zatem jest to ciag Cauchy'ego

Zatem istnieje takie k,ze
\(\displaystyle{ \PP(A_k)-\PP(A_{k+1}) < \frac{\epsilon}{2}}\)
Skoro \(\displaystyle{ A_{k+1} \subset A_{k}}\)
to
\(\displaystyle{ \PP(A_k \setminus A_{k+1} ) = \PP(A_k) -\PP(A_{k+1})<\frac{\epsilon}{2}}\)
Zatem \(\displaystyle{ A_k \setminus A_{k+1}}\) jest naszym szukanym zbioorem.

[blade]

Rozumiem, spodziewałem się dowodu mniej związanego z analiza.
Dzięki