Procenty, preferencje...

[ms7]

W pewnym kraju \(\displaystyle{ a\%}\) czytelników preferuje książkę A, natomiast \(\displaystyle{ b\%}\) książkę B, pozostałe osoby nie mają preferencji.
Losujemy 200 osób, jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie \(\displaystyle{ k}\) spośród nich preferuje książkę A, oraz dokładnie \(\displaystyle{ l}\) preferuje książkę B?

Zadanie na pozór bardzo proste, jednak nie bardzo wiem, jak uwzględnić te procenty.
Macie jakieś pomysły?

[a4karo]

To sie zdecyduj: \(\displaystyle{ a, b}\) to procenty czy ilości osób. Bo to sa dwa różne warunki

[ms7]

Dziękuję za zwrócenie uwagi. Tak chodzi o procenty, zapomniałem dać przed % w latexie i zjadło procenty. Pierwszy post zostało poprawiony

[Premislav]

Sądzę, że można tak to potraktować, iż prawdopodobieństwo, że jedna wylosowana osoba preferuje książkę \(\displaystyle{ A}\) to \(\displaystyle{ a\%}\), a prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba preferuje książkę \(\displaystyle{ B}\) jest równe \(\displaystyle{ b\%}\) (no to oczywiście prawdopodobieństwo, że osoba ta nie ma preferencji to \(\displaystyle{ 1-a\%-b\%}\)). Wtedy masz rozkład wielomianowy.

[ms7]

Też o tym myślałem, ale pytanie czy losowanie kolejnych osób jest niezależne? Wydaje mi się, że nie, ponieważ jeśli wylosuję jedną osobę o preferencjach A to wtedy procenty w puli pozostalych osob się zmieniają, więc losowanie kolejnych osób ma już jakby inne prawdopodobieństwo. Chyba że się mylę.

[Premislav]

Wybacz, o tym nie pomyślałem, nie lubię dyskretnego prawdopodobieństwa. To, co napisałem, to w sumie tylko przybliżenie, bardzo dobrze działające dla dużych populacji/stosunkowo sporych \(\displaystyle{ a,b}\)
(tj. nie w stylu \(\displaystyle{ 0,000003\%}\)). Ściśle rzecz biorąc, nie są niezależne, bo podobnie jak w schemacie urnowym, wylosowanie np. osoby preferującej książkę \(\displaystyle{ A}\) zmniejsza prawdopodobieństwo wylosowania kolejnej osoby preferującej tę książkę.

To może tak: niech ta populacja będzie miała liczebność \(\displaystyle{ S}\). Wtedy wnykikiem powinno być \(\displaystyle{ \frac{{\alpha\% \cdot S \choose k}{\beta\% \cdot S \choose l}{S-(\alpha+\beta)\% \cdot S \choose 200-k-l}}{{S \choose 200}}}\) - wybieramy \(\displaystyle{ k}\) osób spośród preferujących \(\displaystyle{ A}\) itd.
Ale to jest wynik zależny od liczebności populacji, więc nie podoba mi się. Pewnie czegoś nie rozumiem.