exp(-t^4) nie jest funkcją charakterystyczną

[mwrooo]

Witam, problem jak w temacie. Wiem, że wynika to z twierdzenia Marcinkiewicza, ale potrzebuję formalnego dowodu.

[andkom]

Twierdzenie Marcinkiewicza? Hmmm. Bardziej mi pasuje twierdzenie Bochnera. Ale wszystko jedno. Zrobimy "na palcach".

Niech \(\displaystyle{ \varphi(t)=\exp(-t^4)}\)
Wówczas \(\displaystyle{ \varphi(-t)=\varphi(t)}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(2t)=\varphi(-2t)=\varphi(t)^{16}}\)

Gdyby \(\displaystyle{ \varphi}\) była funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), to mielibyśmy
\(\displaystyle{ 0\leq E(|\exp(-itX)+\exp(itX)-2|^2)= \\
=E((\exp(-itX)+\exp(itX)-2)\overline{(\exp(-itX)+\exp(itX)-2)})= \\
=E((\exp(-itX)+\exp(itX)-2)(\exp(itX)+\exp(-itX)-2)})= \\
=E(6-4\exp(itX)-4\exp(-itX)+\exp(i2tX)+\exp(-i2tX))= \\
=6-4\varphi(t)-4\varphi(-t)+\varphi(2t)+\varphi(-2t)=6-8\varphi(t)+2\varphi(t)^{16}}\),
czyli dla każdego \(\displaystyle{ t\in\mathbb R}\) mielibyśmy
\(\displaystyle{ 3-4\varphi(t)+\varphi(t)^{16}\geq0}\).
Nierówność ta jednak nie zachodzi na przykład dla \(\displaystyle{ t=\frac12}\)