Punkty na płaszczyźnie

[aneta909811]

Mamy \(\displaystyle{ n}\) różnych punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej.
Kreślimy w sposób losowy trzy odcinki o końcach spośród danych punktów. Wyznaczyć liczbę
\(\displaystyle{ n}\), jeżeli wiadomo, że prawdopodobieństwo utworzenia łamanej otwartej złożonej z wybranych trzech odcinków wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
Wyznaczyłam \(\displaystyle{ \Omega = { {n \choose 2} \choose 3} = { \frac{n(n-1)}{2} \choose 3}}\)
I nie wiem co dalej...

[kerajs]

Gdy odcinki tworzą łamaną to zawierają tylko 4 wierzchołki. Dla czterech wierzchołków jest 20 różnych układów złożonych z trzech odcinków. 12 z nich to łamana otwarta, 4 to łamana zamknięta (trojkąt) , a ostatnie 4 to .,gwiazdki'(trzy odcinki o wspólnym końcu).
Stąd
\(\displaystyle{ \left|A\right| =12 {n \choose 4}}\)

a odpowiedź to: \(\displaystyle{ n=5}\)