\(\displaystyle{ Niech X_1,X_2,...,X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie. Niech \(\displaystyle{ EX_1=\mu \ D^2X_1=\sigma^2}\) Pokaż, że dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ a_i, i=1,...,n}\) zachodzi \(\displaystyle{ E(\frac{a_1X_1+,...,+a_nX_n}{a_1+,...,+a_n})=\mu}\)
Jak należy dobrać \(\displaystyle{ a_i, i=1,...,n}\) aby wariancja \(\displaystyle{ D^2(\frac{a_1X_1+,...,+a_nX_n}{a_1+,...,+a_n})}\) była najmniejsza.
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
-
niebieski93
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 16 gru 2011, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
-
niebieski93
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 16 gru 2011, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1+,...,+a_n}(a_1EX_1+,...,+a_nEX_n)}\) i z tego, że zmienne mają taki sam rozkład, mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{a_1+,...,+a_n}(a_1\mu+,...+a_n\mu)=\mu}\) chodzi o coś takiego?
-
niebieski93
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 16 gru 2011, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
a jak sobie z tą wariancją poradzić by była najmniejsza? z tym już mam trochę problem, mógłbym prosić o jakieś rozpisanie?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych to suma ich wariancji. A zatem otrzymujesz, że
\(\displaystyle{ \mathbf{D^2}\left(\frac{a_1X_1+,...,+a_nX_n}{a_1+,...,+a_n}\right)=\sigma^{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}^{2}}{(a_{1}+...+a_{n})^{2}}= \frac{\sigma^{2}}{(a_{1}+...+a_{n})^{2}} \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}\)
Następnie skorzystaj z nierówności \(\displaystyle{ a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2} \ge \frac{(a_{1}+...+a_{n})^{2}}{n}}\), która wynika łatwo z nierówności Cauchy'ego-Schwarza. Równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=...=a_{n}}\).
Pozdrawiam.
-- 15 mar 2016, o 22:12 --
Ta nierówność wynika też z nierówności między średnią kwadratową a średnią arytmetyczna i trywialnego \(\displaystyle{ \left| t\right| \ge t}\) dla \(\displaystyle{ t \in \RR}\), jeśli ktoś nie lubi Cauchy'ego-Schwarza.
-- 15 mar 2016, o 22:17 --
A jeśli ktoś nie kojarzy ani jednego, ani drugiego (choć nierówność Schwarza powinna się pojawić na studiach matematycznych), to może rozważyć
\(\displaystyle{ f(a_{1},...a_{n})= \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}{(a_{1}+a_{2}+....+a_{n})^{2}}}\) i poszukać jej ekstremów.
\(\displaystyle{ \mathbf{D^2}\left(\frac{a_1X_1+,...,+a_nX_n}{a_1+,...,+a_n}\right)=\sigma^{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}^{2}}{(a_{1}+...+a_{n})^{2}}= \frac{\sigma^{2}}{(a_{1}+...+a_{n})^{2}} \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}\)
Następnie skorzystaj z nierówności \(\displaystyle{ a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2} \ge \frac{(a_{1}+...+a_{n})^{2}}{n}}\), która wynika łatwo z nierówności Cauchy'ego-Schwarza. Równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=...=a_{n}}\).
Pozdrawiam.
-- 15 mar 2016, o 22:12 --
Ta nierówność wynika też z nierówności między średnią kwadratową a średnią arytmetyczna i trywialnego \(\displaystyle{ \left| t\right| \ge t}\) dla \(\displaystyle{ t \in \RR}\), jeśli ktoś nie lubi Cauchy'ego-Schwarza.
-- 15 mar 2016, o 22:17 --
A jeśli ktoś nie kojarzy ani jednego, ani drugiego (choć nierówność Schwarza powinna się pojawić na studiach matematycznych), to może rozważyć
\(\displaystyle{ f(a_{1},...a_{n})= \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}{(a_{1}+a_{2}+....+a_{n})^{2}}}\) i poszukać jej ekstremów.