prawdopodobieństwo i proces Wienera

[alla2012]

\(\displaystyle{ W_t}\) - proces Wienera, obliczyć \(\displaystyle{ P(2W_1^2-2W_1W_2+W_2^2 \ge 1)}\)

[tajner]

Hmm skorzystaj z właściwości Procesu Wienera i spróbuj zapisać te prawdopodobieństwo za pomocą dystrybuanty.

[alla2012]

wiem, że plączą się tam jakieś rozkłady normalne.. Ale jakoś tego nie potrafię ugryźć. Próbowałam zapisać to w inny sposób, tj. \(\displaystyle{ 2W_1^2-2W_1W_2+W_2^2=(W_1-W_2)^2+W_1^2}\) ale to też skończyło się klęską

[Alef]

\(\displaystyle{ (W_1-W_2)^2+W_1^2=(W_2-W_1)^2+(W_1-W_0)^2}\)

\(\displaystyle{ X=W_2-W_1\sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ Y=W_1-W_0\sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) - niezależne zmienne losowe

\(\displaystyle{ Z=X^{2}+Y^{2}\sim \chi^2_2\quad}\)

Link 1 oraz

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution

Zatem:

\(\displaystyle{ P(Z>1)=1-P(Z\leq 1)=1-F_{Z}(1)=\ldots}\)

[alla2012]

eureka dziękuję, gdzieś mi to świtało ale nie potrafiłam tego zrobić