Granica prawdopodobieństw

[wdsk90]

Rozważamy ciąg niezależnych dwuwymiarowych zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n,Y_n)_{n=1}^{+\infty}}\), gdzie \(\displaystyle{ (X_n,Y_n)}\) mają rozkłady jednostajne na zbiorze \(\displaystyle{ [-2,2]\times[-2,2]}\). Niech

\(\displaystyle{ S_n=(S_{n,1},S_{n,2})=\left(\sum_{i=1}^nX_i,\sum_{i=1}^nY_i\right)}\)

i

\(\displaystyle{ |S_n|=\sqrt{S_{n,1}^2+S_{n,2}^2}}\).

Dobierz stałą \(\displaystyle{ c}\) tak, by

\(\displaystyle{ \lim{n\to\infty}P(|S_n|<c\sqrt{n})=0,95}\).

[andkom]

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że rozkłady \(\displaystyle{ \frac{S_{n,1}}{\sqrt\frac{4n}3}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{S_{n,2}}{\sqrt\frac{4n}3}}\) zbiegają do rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\).
Co więcej (z niezależności), rozkład wektora \(\displaystyle{ \frac{(S_{n,1},S_{n,2})}{\sqrt\frac{4n}3}}\) zbiega do dwuwymiarowego standardowego rozkładu normalnego. Z własności zbieżności rozkładów wynika, że rozkład \(\displaystyle{ (S_{n,1}^2+S_{n,2}^2)\cdot\frac3{4n}}\) zbiega do rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2_2}\), czyli do rozkładu wykładniczego o średniej 2, którego dystrybuantą jest (dla \(\displaystyle{ x>0}\)) funkcja \(\displaystyle{ 1-e^{-\frac x2}}\). Stąd dostajemy, że \(\displaystyle{ \frac{3c^2}4=-2\ln0,05}\), czyli \(\displaystyle{ c=\sqrt{\frac{8\ln20}3}\approx2,8264}\)