Paradoks dnia urodzin

[norwimaj]

Twierdzisz, że \(\displaystyle{ P(A|H)=P(B\cup C|H)=\frac1{\binom{2+365-1}{2}}.}\) Sam to przyznajesz pisząc, że:

ja twierdzę że prawdopodobieństwo że Jaś i Małgosia urodzili się w różne dni wynosi :
\(\displaystyle{ P = \frac{ {365\choose 2}}{{2+365-1\choose 2}} \approx 0.9945}\)

[PiotrWP]

Ok, tylko że Ty stosujesz podejście z wariacjami, czyli tam gdzie liczy się kolejność wyboru, a ja z kombinacjami gdzie nie ma to znaczenia.Weźmy np: nie 365 dni tylko trzy : a - 1. stycznia, b - 2. stycznia, c - 3. stycznia (k = 3) , oraz Jasia i Małgosię (n = 2).W moim podejściu :
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {2+3-1\choose 2} = 6}\)
I są to \(\displaystyle{ \{a,a\},\{b,b\},\{c,c\},\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\}}\)
Jedynym zdarzeniem sprzyjającym dla \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \{a,a\}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A \cap B}} = 1}\)
Czyli \(\displaystyle{ \{a,b\}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{1}{6}}\)

W Twoim (czyli wariacjami - uwzględnienie kolejności) :
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = 3 ^{2} = 9}\)
Jest to \(\displaystyle{ (a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(a,c),(b,a),(c,b),(c,a)}\)
Zdarzenia sprzyjające dla \(\displaystyle{ A}\) : \(\displaystyle{ (a,a)}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{9}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A \cap B}} = 2}\)
\(\displaystyle{ (a,b),(b,a)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{2}{9}}\)

Ja to tak sobie wyobrażam

[norwimaj]

W najprostszym modelu przyjmuje się, że poszczególne dni są jednakowo prawdopodobne i że urodzenia poszczególnych osób są niezależne. To drugie założenie mówi, że jeśli Zuzia rodzi się 4 stycznia z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ a,}\) a Marysia rodzi się 18 sierpnia z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ b,}\) to prawdopodobieństwo urodzenia Zuzi 4 stycznia i Marysi 18 sierpnia jest równe \(\displaystyle{ ab.}\) Twój model takiego założenia nie spełnia.

[PiotrWP]

Nie mam możliwości edytowania poprzedniego posta, ale oczywiście miało być (zamiast B i C miałem A i B oraz zamiast sumy miałem iloczyn) :

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {2+3-1\choose 2} = 6}\)
I są to \(\displaystyle{ \{a,a\},\{b,b\},\{c,c\},\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\}}\)
Jedynym zdarzeniem sprzyjającym dla \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \{a,a\}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B \cup C}} = 1}\)
Czyli \(\displaystyle{ \{a,b\}}\)
\(\displaystyle{ P(B \cup C) = \frac{1}{6}}\)

W Twoim (czyli wariacjami - uwzględnienie kolejności) :
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = 3 ^{2} = 9}\)
Jest to \(\displaystyle{ (a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(a,c),(b,a),(c,b),(c,a)}\)
Zdarzenia sprzyjające dla \(\displaystyle{ A}\) : \(\displaystyle{ (a,a)}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{9}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B \cup C}} = 2}\)
\(\displaystyle{ (a,b),(b,a)}\)
\(\displaystyle{ P(B \cup C) = \frac{2}{9}}\)



Czyli chodzi o to że np: A - Jaś urodzi się 1. stycznia , B - Małgosia 2. stycznia
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{3} , P(B) = \frac{1}{3} , P(A \cap B) = \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9} \neq \frac{1}{6}}\) ?

Jeśli tak to wszystko rozbija się o to że nie uwzględniając kolejności tworzymy zdarzenia zależne ?

[norwimaj]

Wygląda na to, że tak.