Wykazać że funkcja jest rozkładem prawdopodobieństwa

[Poszukujaca]

Na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega =\left\{ 1,2,...,n \right\}}\) określona jest funkcja \(\displaystyle{ p(k)=\frac{2k}{n(n+1)}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \Omega}\). Wykazać, że funkcja ta jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n(n+1)}= \frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{n}k= \frac{2}{n(n+1)} \left( 1+2+3+...+n\right) =\\=\frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{(1+n)n}{2} =1}\)

[Poszukujaca]

Proszę o pomoc przy jeszcze jednym podobnym zadaniu.

Niech \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ 1,2,...,n \right\}, \quad p(1)=\frac{81}{121}, \quad p(k)=\frac{81}{121} \left( \frac{1}{3}\right)^{k-1}}\) dla \(\displaystyle{ k=2,3,...,n}\). Znajdź takie \(\displaystyle{ n}\), dla którego funkcja \(\displaystyle{ p}\) jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega}\).

Robię tak:
\(\displaystyle{ \frac{81}{121} + \sum_{k=2}^{n} \frac{81}{121} \left( \frac{1}{3}\right)^{k-1} = \frac{81}{121} +\frac{81}{121} \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{3} \right)^{k-2} = \frac{81}{121}+ \frac{81}{121} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1-\left( \frac{1}{3}\right)^{n}}{1-\frac{1}{3}}}\)

Przyrównuję do jedynki:
\(\displaystyle{ \frac{81}{121}+ \frac{81}{121} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( 1-\left( \frac{1}{3}\right)^{n} \right) = 1}\)

Dalej liczę i wychodzą dziwne rzeczy, więc nie wiem, czy to dobry pomysł.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{81}{121} \left[ 1+ \frac{1}{3} \frac{1-( \frac{1}{3} )^{n}}{ \frac{2}{3} } \right] =1 \\
1+ \frac{1}{2}\left[ 1-( \frac{1}{3} )^{n} \right]= \frac{121}{81} \\
\frac{1}{2}\left[ 1-( \frac{1}{3} )^{n} \right]= \frac{40}{81} \\
1-( \frac{1}{3} )^{n} ]= \frac{80}{81} \\
( \frac{1}{3} )^{n}= \frac{1}{81} \\
n=4}\)

[Matemorron]

Niech Ω={0,1,2,3,...,n}. Wykaż, że funkcja p ze zbioru Ω w zbiór R określona wzorem
\(\displaystyle{ p(k) = {n \choose k} * (\frac{1}{6})^{k} * (\frac{5}{6})^{n-k}}\) dla k=0,1,2,3,...,n
jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω.

Nie mam pojęcia jak zrobić to zadanie. Próbowałem rozwiązać metodą z wcześniejszych postów ale coś mi nie wychodzi.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}p(k)= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \left( \frac{1}{6} \right)^{k} \left( \frac{5}{6} \right)^{n-k}= \frac{1}{6^n} \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{k} 5^{n-k}=
\frac{1}{6^n} (1+5)^n=1}\)

[Matemorron]

Jescze zostało mi to zadanie:
Wykaż, że funkcja p jest rozkładem prawdopodobieństwa.
Ω={0,1,2,3,...,n}
\(\displaystyle{ p(k)= {n \choose k} ( \frac{1}{2} ) ^{n}}\)
dla k=0,1,2,3,...,n

Przydałby się jakiś wzór czy konkretne wyjaśnienie ale niestety na necie nic nie ma.

[blade]

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^k = (a+b)^n}\)
Wobec tego, mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {n \choose k} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)^n = 1.}\)