Czy wypadało by coś jeszcze uzasadnić w rozwiązaniu powyższego zadania?
\(\displaystyle{ A,B \subset \Omega}\) i \(\displaystyle{ P(A \cap B')=0,1 \wedge P(A' \cap B)=0,2}\).
Wykaż że \(\displaystyle{ A \cap B \le 0,7}\)
Rozwiązanie :
Wiemy że
1)\(\displaystyle{ A\cap B \subset A \wedge A\cap B \subset B}\),
2)\(\displaystyle{ A\cap B' = A - (A\cap B)}\) i \(\displaystyle{ A' \cap B = B - (A \cap B)}\) . Są to zdarzenia wykluczające się więc prawdopodobieństwo ich zdarzeń wynosi \(\displaystyle{ 0,3}\)
Dodatkowo rysując sobie dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) w jakiejś przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega}\) stwierdzamy że \(\displaystyle{ (A - (A \cap B)) \cap (B-(A\cap B)) \cap (A\cap B) = \emptyset}\) i suma tych podzbiorów tworzy zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) czyli mamy nierówność :
\(\displaystyle{ 1 \ge P(A) = P((A-(A\cap B)) \cup (B-(A\cap B)) \cup (A\cap B)) = P(A-(A\cap B)) + P(B-(A\cap B)) + P(A\cap B)) = 0,3 + P(A \cap B)}\).
Biorąc pod uwagę \(\displaystyle{ 1 \ge 0,3 + P(A \cap B)}\) otrzymujemy że \(\displaystyle{ 0.7 \ge P(A \cap B)}\)