Rozkład dwumianowy

[Poszukujaca]

Niech \(\displaystyle{ p_{5}(k)= {n \choose k} \left( \frac{1}{5} \right)^{k} \left( \frac{4}{5} \right)^{n-k}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,...,n}\). Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ p_{5}}\) jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,n \right\}}\)

Wiem, że jest to przykład rozkładu dwumianowego - i wystarczy się na to powołać i jest dowód. Jednak chciałabym udowodnić to przez rachunki.

Liczę sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \left( \frac{1}{5} \right)^{k} \left( \frac{4}{5} \right)^{n-k}}\). Musi mi ona wyjść równa jeden. Niestety dotychczasowe rachunki do niczego mnie nie prowadzą.

[Premislav]

Wystarczy zastosować wzór dwumianowy Newtona:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{ n \choose k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^n}\). Można go udowodnić przez indukcje, kombinatorycznie albo z jakichś dziwnych tożsamości.