Błądzenie losowe once again.

[Emiel Regis]

Pijak znajduje się 3 kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku przepaści wynosi 1/3, w przeciwnym 2/3, kroki są niezależne. Jaka jest szansa ocalenia? Zakładamy, że pijak spada, gdy znajdzie się na krawędzi.

[jovante]

\(\displaystyle{ P_i}\) - prawdopodobieństwo ocalenia i kroków od przepaści (\(\displaystyle{ i\geqslant 0}\))

Z warunków zadnia mamy:

\(\displaystyle{ P_0=0 \\ \lim_{n\to } P_n=1 \\ P_i=\frac{2}{3}P_{i+1}+\frac{1}{3}P_{i-1}}\)

Z ostatniego równania rekurencyjnego otrzymujemy \(\displaystyle{ P_{i+1}-P_i=\frac{P_1}{2^i}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ P_i=\sum_{n=0}^{i-1} (P_{n+1}-P_n)}\), to łatwo widać, że \(\displaystyle{ 1=\frac{P_1}{1-\frac{1}{2}}}\)

Ostatecznie otrzymujemy wynik:

\(\displaystyle{ P_3=\sum_{n=0}^{2} (P_{n+1}-P_n)=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2})=\frac{7}{8}}\)

[matematyka464]

Nie rozuimem skąd bierze się ta równość:
\(\displaystyle{ P_i=\frac{2}{3}P_{i+1}+\frac{1}{3}P_{i-1}}\)
Czy mógłby ktoś to wyjaśnić?