Funkcje tworzace momenty(wartosci oczekiwane i wariancje)

rosbi · Post autor: **rosbi** » 21 lut 2016, o 17:25

Mam problem z nastpujacymi zadaniami:
1. Funkcja tworzaca momenty ma wzór: \(\displaystyle{ Mx(t)=0,1e ^{5t}+0,2e ^{-7t}+0,7}\) Oblicz wartosc oczekiwana.
Ja robie to tak wg wzorow licze pochodna:
\(\displaystyle{ M'x(t)=0,1 \cdot (5)e ^{5t}=0,2 \cdot (-7)e ^{-7t}+0}\)
\(\displaystyle{ EX=M'x(0)=0,5-1,4=-0,9}\)
Czy to jest dobrze? Dobrze policzyłem te pochodne bo nigdzie nie umiem znaleźć wzorów na pochodną z e do potegi(stała i zmienna)

2. Funkcja tworzaca momenty dana wzorem: \(\displaystyle{ Mx(t)=(1- \frac{t}{B}) ^{-W}}\) i B,W>0 i t<B. Oblicz wariancje zmiennej losowej.
Wiem, że wariancja to oczywiście \(\displaystyle{ EX ^{2} -(EX) ^{2} i EX ^{2}=m''x(0)}\) a EX analogicznie jak w poprzednim przykladzie czyli M'x(0), ale jak to policzyć od czego zacząć?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 21 lut 2016, o 17:56

1.Tak, jest dobrze.

bo nigdzie nie umiem znaleźć wzorów na pochodną z e do potegi(stała i zmienna)

to wynika ze wzoru na pochodną funkcji złożonej; gdyby pisać dla każdej funkcji oddzielny wzór, to można by oszaleć.
\(\displaystyle{ (e^{f(x)})'=f'(x)\cdot e^{f(x)}}\) o ile oczywiście funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x}\).

2. no liczysz pochodne. Na czym się zatrzymujesz? Ponownie stosujesz wzór na pochodną funkcji złożonej.

rosbi · Post autor: **rosbi** » 21 lut 2016, o 18:39

Ok, dzięki z pomoc.
2. robie analogicznie wyszła mi wariancja ujemna: \(\displaystyle{ -\frac{W ^{2} }{B ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ EX=M'x(0)= \frac{W}{B}}\)
a) \(\displaystyle{ M'x(t)=0+ \frac{W}{B} \cdot (t)'- \frac{1}{B ^{-W} } \cdot (t ^{-W})'}\)
\(\displaystyle{ EX ^{2}=M''x(0)=0}\)
\(\displaystyle{ D ^{2} X=EX ^{2} -( EX)^{2} =0- (\frac{W}{B}) ^{2}}\)

w Mx'(t) licze tak samo jak w a) tylko obliczam pochodna z pochodnej z ostatniego wyrazenia(tez wyjdzie po podstawiueniu zera zero) a drugie i pierwsze tez beda 0

Gdzie jest bład?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 lut 2016, o 19:10

2. Błąd. Liczysz pochodną przed podstawieniem zera.

rosbi · Post autor: **rosbi** » 21 lut 2016, o 19:29

\(\displaystyle{ M'x(t)=(1- \frac{t}{B}) ^{-W} =(1 ^{-W} +W \frac{t}{B}+( \frac{t}{B}) ^{-W} )'= \frac{W}{B} + \frac{Wt ^{(-W-1)} }{B ^{-W} }}\) POzniej podstawiam 0 za t i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{W}{B}}\) bo drugie wyrazenie wychodzi 0 po podstawieniu 0.
w M'x(t) robie analogicznie tylko pow wyliczeniu jednej pochodnej, licze pochodna z pochodnej(z tego wyrazenia, ktore wyszlo w 1), wiec zostaje drugie wyrazenie i po podstawieniu do niego 0 tez wychodzi 0, wiec M'x(0) wychodzi mi 0
Po podstawieniu do wzoru na wariancje wychodzi to: \(\displaystyle{ -(\frac{W}{B}) ^{2}}\)

i jeszcze link do moich bazgrolow [...]

Premislav · Post autor: **Premislav** » 21 lut 2016, o 19:39

Źle liczysz tę pochodną, wygląda na to, że jedynie akcydentalnie otrzymałeś poprawną wartość
oczekiwaną. Masz funkcję
\(\displaystyle{ M(t)=\left( 1- \frac{t}{B} \right)^{-W}}\). Liczysz jej pochodną ze wzoru na pochodną funkcji złożonej. Funkcją zewnętrzną jest \(\displaystyle{ g(y)=y^{-W}}\), a funkcja wewnętrzna to \(\displaystyle{ y(t)=1-\frac t B}\). no to wynik to pochodna \(\displaystyle{ g}\) po \(\displaystyle{ y}\) dla \(\displaystyle{ y=1-\frac t B}\) razy pochodna funkcji \(\displaystyle{ y(t)}\) po \(\displaystyle{ t}\). No i potem liczysz drugą pochodną, czyli pochodną z pochodnej (ponownie f. złożona), a dalej podstawiasz \(\displaystyle{ t=0}\) i masz \(\displaystyle{ \mathbf{E}X^{2}}\).
Przećwicz sobie wzór na pochodną funkcji złożonej, bo bez tego ani rusz.

rosbi · Post autor: **rosbi** » 22 lut 2016, o 09:51

\(\displaystyle{ M'x(t)=[(1- \frac{t}{B} ) ^{-W} ]'=-W(1- \frac{t}{B}) ^{(-W-1)} \cdot (1- \frac{t}{B} )'=-W(1-\frac{t}{B} ) ^{(-W-1)} \cdot [1'- \frac{1}{B} \cdot (t)']=\frac{W(1- \frac{t}{B}) ^{(-W-1} }{B}=Pochodna}\)
\(\displaystyle{ M'x(0)= \frac{W ^{(-W-1)} }{B} =EX}\)

I teraz licze M'X(t) czyli pochodna z pochodnej(z tego co wyszlo w 1 dzialaniu) i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{W ^{2}+W(1- \frac{t}{B}) ^{(-W-2)} }{B ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ M''x(t)=\frac{W ^{2}+W ^{(-W-2)} }{B ^{2} }=EX ^{2}}\)

\(\displaystyle{ D ^{2} X= \frac{W ^{2}+W ^{(-W-2)}-W ^{(-2W-2)} }{B ^{2} }}\)

Wynik trochę skomplikowany, ale przy zalozeniu, ze W i B>0 wariancja będzie dodatnia. Jest to dobrze?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 23 lut 2016, o 00:19

Coś nie tak. Chyba błąd przy podstawieniu \(\displaystyle{ t=0}\). Pierwszą pochodną 'symbolicznie' policzyles dobrze, choć zapis trochę niejasny, ale nie wiem, skąd Ci się wzięło \(\displaystyle{ W^{-W-1}}\).
Przy drugiej pochodnej to nie wiem co robisz, wynik jest w każdym razie niepoprawny.
Dla porządku:
\(\displaystyle{ M_{x}'(t)= \frac{W}{B}\left( 1-\frac t B\right)^{-W-1}, M_{x}'(0)=\frac W B\\M_{x}''(t)=\frac {W(W+1)}{B^{2}}\left( 1-\frac t B\right)^{-W-2}, M_{x}''(0)=\frac {W(W+1)}{B^2}}\)