Parzysta liczba sukcesów prób Bernoulliego.

[Emiel Regis]

Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ciągu n prób Bernoulliego.

Moje rozwiazanie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}C_n^{2k} p^{2k} (1-p)^{n-2k}}\)
Chcialbym wiedzieć czy jest ono poprawne oraz czy nie da się go uproscić (w ksiazce z tyłu jest dość zgrabny wynik bez sumy). Ew. zrobić inną metodą żeby nic nie trzeba było sumować.

[wb]

Wzór nie jest poprawny choćby z powodu symbolu \(\displaystyle{ C_n^{2k}}\) ,
który np. dla k=n nie istnieje.

[Emiel Regis]

No tak, to jest racja ale łatwo to akurat poprawić:
\(\displaystyle{ \sum_{k \mathbb{N} 2k qslant n} C_n^{2k} p^{2k} (1-p)^{n-2k}}\)

[jovante]

Moim zdaniem bardziej elegancki zapis od Twojego to:

\(\displaystyle{ P(A)=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}}\)

i faktycznie można go uprościć

\(\displaystyle{ 1=(p+1-p)^n=\sum_{k=0}^{n} p^{k}(1-p)^{n-k}=\\ \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}+\sum_{k=0}^{\left\lceil\frac{n}{2}-1\right\rceil} {n \choose 2k+1}p^{2k+1}(1-p)^{n-2k-1}=\\ \sum_{k=0}^{\left\lceil\frac{n}{2}-1\right\rceil} {n \choose 2k+1}p^{2k+1}(1-p)^{n-2k-1}-\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}+\\ 2\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}=-(1-p-p)^n}+2\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}}\)

czyli

\(\displaystyle{ 1+(1-2p)^n=2\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}=\frac{1+(1-2p)^n}{2}}\)