Expected shortall i Value at risk

[Dominik J]

Czy ma ktoś pomysł w jaki sposób to udowodnić: \(\displaystyle{ VaR_{ \alpha }\left( X\right) \le ES_{ \alpha} \left( X\right)}\).
gdzie:
\(\displaystyle{ X - hbox{zmienna losowa}\ alpha in left[0,1
ight)\ F_{X} - hbox{dystrybuanta zmiennej losowej X}\VaR_{ alpha }left( X
ight)=infleft{ x: F_{X}(x) ge alpha
ight} hbox{Value at risk}\ES_{ alpha} left( X
ight)= frac{1}{1- alpha } int_{ alpha }^{1}VaR_{u}left( X
ight) mbox{d}u hbox{Expected shortfall}}\)
VaR i ES są miarami ryzyka:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Miara_ryzyka

[a4karo]

wsk: funkcja \(\displaystyle{ VaR_\alpha(X)}\) jest funkcja niemalejącą zmiennej \(\displaystyle{ \alpha}\)

[Dominik J]

Wiem właśnie, że trzeba to zrobić z monotoniczności funkcji VaR, ale nie wiem w jaki sposób.

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ \int_{A} f(x) d \mu \le \mu (A) \cdot \sup (f(x) )}\)

[a4karo]

Z monotoniczności wartość funkcji podcałkowej jest nie większ niż jej wartośc na lewym końcu. i Już.